logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3831

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-16 22:27:24

Rozwiązując zadania z granic zauważyłem kilka nie jasnych kwestii:

a) mamy wzór $\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1$, ale spotkałem się z tym że $\lim_{x \to \infty}\frac{sin x}{x}=1$ ostatnio wpadłem na pomysł że: $\lim_{x \to \infty}\frac{sin x}{x}=\lim_{u \to 0}\frac{sin \frac{1}{u}}{\frac{1}{u}}=\lim_{u \to 0}\frac{\frac{sin\frac{1}{u}}{\frac{1}{u}}*\frac{1}{u}}{\frac{1}{u}}=1$

Czy to tak jest? Jakie podobnie zmienić, oprócz tg, arcsin, arctg?


student113
postów: 156
2015-11-16 22:34:55

b) gdy w wzorze na granice zamienione są znaki, np$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$, to: $\lim_{x \to 0}\frac{1-e^x}{x}=-1$? Bo już nie raz się spotkałem z taką sytuacją, oczywiście w tym przypadku wyciągając przed granicę -1 to uzyskamy zwykły wzór, tylko że wynik będzie pomnożony przez -1. Ale na w przypadku wzoru z logarytmem np.$\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}$ to gdy: $\lim_{x \to 0}\frac{ln(-1-x)}{x}=-1$.
Ogólnie mówiąc chciałbym się dowiedzieć jak zmiana znaków w wzorach na granice wpływa na wynik?


tumor
postów: 8085
2015-11-16 22:37:29

$\lim_{x \to \infty}\frac{sinx}{x}=0$

Ogólniej, jeśli $a_n\to 0, b_n$ jest ograniczony, to
$a_n*b_n\to 0$
oczywiście $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} =0$
sinx jest ograniczony. Ich iloczyn ma (w nieskończoności) granicę 0.


$\lim_{x \to \infty}\frac{sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=1$
oraz
$\lim_{x \to -\infty}\frac{sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=1$

Mamy też $\lim_{x \to 0}\frac{tgx}{x}=
\lim_{x \to 0}\frac{arcsinx}{x}=
\lim_{x \to 0}\frac{x}{tgx}=
\lim_{x \to 0}\frac{tgx}{arcsinx}=\lim_{x \to 0}\frac{arctgx}{sinx}=...=1$


----

Uczono Cię czegoś takiego jak logarytm z liczby ujemnej? :)

Odpowiedź na Twoje pytanie była na zajęciach.
Mówi o tym twierdzenie o granicy sumy/różnicy/iloczynu/ilorazu.

Jeśli $\frac{1-e^x}{x}=(-1)*\frac{e^x-1}{x}$ oraz istnieją granice

$\lim_{x \to 0}(-1)=..$
$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=..$

to granica $\lim_{x \to 0}\frac{1-e^x}{x}$ jest iloczynem tych granic.

Jeśli szukasz granicy iloczynu, to jest ona równa iloczynowi granic (o ile one istnieją).

Jeśli zatem -1 da się wyłączyć przed całe wyrażenie, to mamy tu mnożenie przez -1, granica z -1 istnieje. Trzeba sprawdzić jeszcze istnienie tej drugiej, a potem gotowe.
W przykładzie z logarytmem nikt Cię nigdy nie uczył takiego wyłączania liczby -1. ;) Nie jest to uzasadnione niczym.
Chyba na infie stosuje się jakieś kroki gdy się podejrzewa, że zadziałają, prawda? Czy klikacie byle jak? To tutaj tak samo, najpierw trzeba mieć argument mówiący, dlaczego to zadziała. Logarytm z liczby ujemnej może jednak nie być tym, czego potrzebujesz.

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-16 22:44:18 przez tumor

student113
postów: 156
2015-11-16 23:06:07

ok, ten drugi przykład nie był zbytnio przemyślany , z tym się zgadzam, może jeszcze raz popełnię taki błąd, ale muszę się o to zapytać np. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x})^x=e^a$

jakby było $\lim_{x \to \infty}(-1+\frac{a}{x})^x$
albo $\lim_{x \to \infty}(-1-\frac{a}{x})^x$

Da się to wtedy podpiąć do tego wzoru?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 25 drukuj