logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3837

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamwik96
postów: 50
2015-11-17 17:20:50

Udowodnij: $\lim_{n\to\infty} (2\sqrt[n]{k} - 1)^n = k^2$ dla $k\in N $ oraz $ k\ge 0$


janusz78
postów: 820
2015-11-18 18:53:38

Wykorzystamy twierdzenie o trzech ciągach

$0 \leq (\sqrt[n]{k}-1)^2 = \sqrt[n]{k^2}-2\sqrt[n]{k}+1.$

Stąd

$ (2\sqrt[n]{k}-1)^{n} \leq (\sqrt[n]{k^2})^{n}=k^2$(1)

Ponadto

$ (2\sqrt[n]{k}-1)^{n}= k^2\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}}- \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}\right)^{n}= k^2\left(1 +\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}}- \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}-1\right)\right)^{n}$ (2)

Z (2) i nierówności Bernoulliego otrzymujemy

$(2\sqrt[n]{k}-1)^{n}> k^2\left(1 +n\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}} - \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}-1\right) \right)= k^2\left(1 - n\frac{(\sqrt[n]{k} -1)^2}{\sqrt[n]{k^2}}\right)$ (3)

Stosując ponownie nierówność Bernoulliego dostajemy

$ k = (\sqrt[n]{k}-1+1)^{n} > 1 +n(\sqrt[n]{k}-1)> n(\sqrt[n]{k}-1),$

czyli

$(\sqrt[n]{k}-1)^2 < \frac{k^2}{n^2}$ (4)

Z (4) i (3)

$(2\sqrt[n]{k}-1)^2 > k^2\left(1-\frac{k^2}{n\sqrt[n]{k^2}}\right)$ (5)

Z (1) i (5) otrzymujemy nierówność

$ k^2\left(1-\frac{k^2}{n\sqrt[n]{k^2}}\right) < (2\sqrt[n]{k} -1)^{n} < k^2.$

Z twierdzenia o trzech ciągach

$\lim_{n\to \infty} (2\sqrt[n]{k} -1)^{n} =k^2.$

Co mieliśmy wykazać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj