Analiza matematyczna, zadanie nr 3837
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kamwik96 post贸w: 52 |  2015-11-17 17:20:50Udowodnij: $\lim_{n\to\infty} (2\sqrt[n]{k} - 1)^n = k^2$ dla $k\in N $ oraz $ k\ge 0$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-18 18:53:38 Wykorzystamy twierdzenie o trzech ci膮gach $0 \leq (\sqrt[n]{k}-1)^2 = \sqrt[n]{k^2}-2\sqrt[n]{k}+1.$ St膮d $ (2\sqrt[n]{k}-1)^{n} \leq (\sqrt[n]{k^2})^{n}=k^2$(1) Ponadto $ (2\sqrt[n]{k}-1)^{n}= k^2\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}}- \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}\right)^{n}= k^2\left(1 +\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}}- \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}-1\right)\right)^{n}$ (2) Z (2) i nier贸wno艣ci Bernoulliego otrzymujemy $(2\sqrt[n]{k}-1)^{n}> k^2\left(1 +n\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}} - \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}-1\right) \right)= k^2\left(1 - n\frac{(\sqrt[n]{k} -1)^2}{\sqrt[n]{k^2}}\right)$ (3) Stosuj膮c ponownie nier贸wno艣膰 Bernoulliego dostajemy $ k = (\sqrt[n]{k}-1+1)^{n} > 1 +n(\sqrt[n]{k}-1)> n(\sqrt[n]{k}-1),$ czyli $(\sqrt[n]{k}-1)^2 < \frac{k^2}{n^2}$ (4) Z (4) i (3) $(2\sqrt[n]{k}-1)^2 > k^2\left(1-\frac{k^2}{n\sqrt[n]{k^2}}\right)$ (5) Z (1) i (5) otrzymujemy nier贸wno艣膰 $ k^2\left(1-\frac{k^2}{n\sqrt[n]{k^2}}\right) < (2\sqrt[n]{k} -1)^{n} < k^2.$ Z twierdzenia o trzech ci膮gach $\lim_{n\to \infty} (2\sqrt[n]{k} -1)^{n} =k^2.$ Co mieli艣my wykaza膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj