Analiza matematyczna, zadanie nr 3837

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kamwik96 postów: 52	2015-11-17 17:20:50 Udowodnij: $\lim_{n\to\infty} (2\sqrt[n]{k} - 1)^n = k^2$ dla $k\in N $ oraz $ k\ge 0$

janusz78 postów: 820	2015-11-18 18:53:38 Wykorzystamy twierdzenie o trzech ciągach $0 \leq (\sqrt[n]{k}-1)^2 = \sqrt[n]{k^2}-2\sqrt[n]{k}+1.$ Stąd $ (2\sqrt[n]{k}-1)^{n} \leq (\sqrt[n]{k^2})^{n}=k^2$(1) Ponadto $ (2\sqrt[n]{k}-1)^{n}= k^2\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}}- \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}\right)^{n}= k^2\left(1 +\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}}- \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}-1\right)\right)^{n}$ (2) Z (2) i nierówności Bernoulliego otrzymujemy $(2\sqrt[n]{k}-1)^{n}> k^2\left(1 +n\left(\frac{2}{\sqrt[n]{k}} - \frac{1}{\sqrt[n]{k^2}}-1\right) \right)= k^2\left(1 - n\frac{(\sqrt[n]{k} -1)^2}{\sqrt[n]{k^2}}\right)$ (3) Stosując ponownie nierówność Bernoulliego dostajemy $ k = (\sqrt[n]{k}-1+1)^{n} > 1 +n(\sqrt[n]{k}-1)> n(\sqrt[n]{k}-1),$ czyli $(\sqrt[n]{k}-1)^2 < \frac{k^2}{n^2}$ (4) Z (4) i (3) $(2\sqrt[n]{k}-1)^2 > k^2\left(1-\frac{k^2}{n\sqrt[n]{k^2}}\right)$ (5) Z (1) i (5) otrzymujemy nierówność $ k^2\left(1-\frac{k^2}{n\sqrt[n]{k^2}}\right) < (2\sqrt[n]{k} -1)^{n} < k^2.$ Z twierdzenia o trzech ciągach $\lim_{n\to \infty} (2\sqrt[n]{k} -1)^{n} =k^2.$ Co mieliśmy wykazać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj