Analiza matematyczna, zadanie nr 3838

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-11-17 18:11:12 Korzystając z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić podane nierówności: a)$\frac{x}{x+1} < ln(1+x) < x$ dla x>0 b)$e^x>1+x $ dla x>0 Znam twierdzenie Lagrange'a Założenia funkcja f spełnia warunki: (i) f jest ciągła na przedziale [a,b] (ii) f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b) Teza: istnieje punkt $c\in(a,b)$ taki że $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ Tylko może ktoś mi wytłumaczyć, jak to połączyć z tymi przykładami.

student113 postów: 156	2015-11-17 18:34:09 Ok, już chyba wiem do a) mamy $f(x)=ln(1+x), [a,b]=[0,x]$ $\frac{ln(1+x)-ln(1+0)}{x-0}=[ln(1+c)]'$ // z wzoru z twierdzenia i $c\in(0,x)$ //wynika z twierdzenia $\frac{ln(1+x)-0}{x}=\frac{1}{1+c}$ $\frac{ln(1+x)}{x}=\frac{1}{1+c} \| *x$ $ln(1+x)=\frac{x}{1+c}$ czyli $\frac{x}{1+x} < ln(1+x) < \frac{x}{1+0}$ Wszystko miałem w książce, ale dopiero teraz zrozumiałem kilka przejść. Swoją drogą autor podręcznika mógłby wiedzieć że może być mieć do czynienia z osobą ociężałą umysłowo i mógłby rozpisać to jaśniej

student113 postów: 156	2015-11-17 18:41:37 Mam jeszcze jedno nurtujące mnie pytanie To znaczy, dlaczego w końcowej fazie podstawiamy za c x albo 0, skoro wcześniej ustaliliśmy że $c\in(0,x)$ czyli $0 < c < x$

tumor postów: 8070	2015-11-19 21:23:55 Dobrze rozwiązujesz. Istnieje c w przedziale (0,x) dla którego $ln(1+x)=\frac{x}{1+c}$ to mówi nam tw. Lagrange'a Natomiast ograniczenie $\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+c}<\frac{x}{1+0}$ wynika stąd, że x>0 oraz $x\in (0,x)$. Gdy zwiększymy mianownik, to wartość ułamka maleje, gdy zmniejszymy mianownik, to rośnie. Nie? Wystarczy teraz połączyć jedno z drugim. Nie jest istotne, ile dokładnie wynosi c. Tw. mówi, że po prostu takie c w tym przedziale jest. I już.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj