logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3838

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-17 18:11:12

Korzystając z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić podane nierówności:
a)$\frac{x}{x+1} < ln(1+x) < x$ dla x>0

b)$e^x>1+x $ dla x>0

Znam twierdzenie Lagrange'a

Założenia funkcja f spełnia warunki:
(i) f jest ciągła na przedziale [a,b]
(ii) f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b)

Teza: istnieje punkt $c\in(a,b)$ taki że $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Tylko może ktoś mi wytłumaczyć, jak to połączyć z tymi przykładami.


student113
postów: 156
2015-11-17 18:34:09

Ok, już chyba wiem

do a)

mamy $f(x)=ln(1+x), [a,b]=[0,x]$

$\frac{ln(1+x)-ln(1+0)}{x-0}=[ln(1+c)]'$ // z wzoru z twierdzenia

i $c\in(0,x)$ //wynika z twierdzenia

$\frac{ln(1+x)-0}{x}=\frac{1}{1+c}$
$\frac{ln(1+x)}{x}=\frac{1}{1+c} | *x$
$ln(1+x)=\frac{x}{1+c}$

czyli

$\frac{x}{1+x} < ln(1+x) < \frac{x}{1+0}$

Wszystko miałem w książce, ale dopiero teraz zrozumiałem kilka przejść. Swoją drogą autor podręcznika mógłby wiedzieć że może być mieć do czynienia z osobą ociężałą umysłowo i mógłby rozpisać to jaśniej


student113
postów: 156
2015-11-17 18:41:37

Mam jeszcze jedno nurtujące mnie pytanie
To znaczy, dlaczego w końcowej fazie podstawiamy za c x albo 0, skoro wcześniej ustaliliśmy że $c\in(0,x)$ czyli $0 < c < x$


tumor
postów: 8070
2015-11-19 21:23:55

Dobrze rozwiązujesz. Istnieje c w przedziale (0,x) dla którego
$ln(1+x)=\frac{x}{1+c}$
to mówi nam tw. Lagrange'a

Natomiast ograniczenie

$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+c}<\frac{x}{1+0}$ wynika stąd, że x>0 oraz $x\in (0,x)$.
Gdy zwiększymy mianownik, to wartość ułamka maleje, gdy zmniejszymy mianownik, to rośnie. Nie?

Wystarczy teraz połączyć jedno z drugim. Nie jest istotne, ile dokładnie wynosi c. Tw. mówi, że po prostu takie c w tym przedziale jest. I już.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj