logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3840

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-17 21:48:04

obliczyć granice, ale nie L'Hospitalem

a)$\lim_{x \to \infty}\frac{ln(1+7^x)}{ln(1+6^x)}$


tumor
postów: 8070
2015-11-17 22:05:34

wyłącz w liczniku $7^x$ przed nawias, a potem zastosuj wzór na logarytm iloczynu. Podobnie w mianowniku z $6^x$


student113
postów: 156
2015-11-17 22:14:24

$\lim_{x \to \infty}\frac{ln(1+7^x)}{ln(1+6^x)}=\frac{ln(7^x)+ln(1+\frac{1}{7^x})}{ln(6^x)+ln(1+\frac{1}{6^x})}=\frac{ln(7^x)}{ln(6^x)}$ Tak?


tumor
postów: 8070
2015-11-17 22:17:23

Prześlicznie. Jeszcze x przed logarytmy z $7^x$ i z $6^x$
$ln(a^b)=bln(a)$
(Póki jest x, to trzeba pisać lim)


student113
postów: 156
2015-11-17 22:26:37

ok właśnie się zastanawiałem bo w odpowiedziach był $\frac{ln(7)}{ln(6)}$, jeszcze jedno

b)$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-1}{e^x}$


tumor
postów: 8070
2015-11-17 22:46:29

b) oczywiste 0. Z de l'Hospitala od razu. Bez reguły można tak:

Mianownik dla dużych x rośnie o wiele szybciej niż licznik. Wobec tego dla $x>x_0$ mamy
$0<\frac{x^2-1}{e^x}<\frac{1}{2^x}$
co oczywiście trzeba jakoś formalnie udowodnić. :)

Na oko patrząc może starczy $x_0=20$ (albo jakiś podobny). Możesz sprawdzić, czy dla większych x nierówność będzie spełniona.

Oczywiście z prawej strony możesz szacować przez dowolny ciąg geometryczny z odpowiednim ilorazem, na przykład przez
$(\frac{99}{100})^x$
wtedy wyjściowe $x_0$ będzie mniejsze. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 113 drukuj