logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3863

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwonkaczapie9
postów: 40
2015-11-22 01:29:48

Witam. Proszę o pomoc w takim zadaniu:
Niech B będzie zbiorem miary zero. Sprawdź, czy dla dowolnego zbioru C, zbiory $B \cap A$, $B \backslash C$ są zbiorami miary zero.


janusz78
postów: 820
2015-11-22 10:54:54

Na mocy twierdzenia " podzbiór miary zero jest zbiorem miary zero"
Jeśli $ |B|=0, $ to dla dowolnego zbioru $ C, \ \ |B\cap C|= 0 $

Na mocy twierdzenia " jeśli $ |B|=0, $ to $ |A\cup B|= |A| = |A-B|",$

$|B-C|= |B|=0.$


Wiadomość była modyfikowana 2015-11-22 11:03:22 przez janusz78

tumor
postów: 8070
2015-11-23 14:09:56

Tu potrzeba małego sprostowania.
Podzbiór zbioru miary zero nie może mieć miary dodatniej, bo by to przeczyło definicji miary.

W przypadku miar niezupełnych podzbiór zbioru miary zero może nie być mierzalny. Miary, w których podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne, nazywamy zupełnymi. W nich oczywiście zachodzi "podzbiór miary zero jest miary zero".

Bez dodatkowych informacji (np założenia, że rozpatrujemy miary zupełne), nie można określić, czy podane zbiory są miary zero.

Zadanie można rozwiązać także przy założeniu, że C jest mierzalny, a B mierzalny i miary zero. Wówczas $B\cap C$ i $B\backslash C$ są mierzalne, a w konsekwencji powyższego mają miary zero.


-------


Ciekawym przykładem miary niezupełnej jest miara Lebesgue'a na $\sigma$-ciele zbiorów borelowskich w R. Istnieją w niej niemierzalne podzbiory zbioru miary zerowej.

Ponadto każdą miarę można rozszerzyć do miary zupełnej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 55 drukuj