logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 388

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jablkobanan92
postów: 2
2012-03-08 20:44:22

Hej, czy ktoś mógłby obliczyć następującą granicę za pomocą reguły de l'Hospitala: \lim_{x \to 1^-}(1-x)^cos\frac{\pix}{2}.Proszę... $$


tumor
postów: 8070
2012-10-02 13:46:45

$ \lim_{(x \to 1^-)}(1-x)^{cos\frac{\pi x}{2}}$

Taka? Zabawna całkiem.

$ \lim_{(x \to 1^-)}(1-x)^{cos\frac{\pi x}{2}}=\lim_{(x \to 1^-)}e^{ln(1-x)*cos\frac{\pi x}{2}}$

Korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej możemy sobie policzyć tylko granicę wykładnika, nie będzie trzeba tyle przepisywać.

$\lim_{(x \to 1^-)} ln(1-x)*cos\frac{\pi x}{2}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{cos\frac{\pi x}{2}}}$

Tu widzimy, że mamy licznik i mianownik jak trzeba do de l'Hospitala.

Pochodna licznika to $\frac{-1}{1-x}=\frac{1}{x-1}$
Pochodna mianownika to $-\frac{1}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}*sin(\frac{\pi x}{2})*\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}\frac{sin(\frac{\pi x}{2})}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}$

Liczymy
$\lim_{(x \to 1^-)}\frac{\frac{1}{x-1}}{-\frac{\pi}{2}\frac{sin(\frac{\pi x}{2})}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{1}{1-x}*\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{sin(\frac{\pi x}{2})}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{1}{1-x}*\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{1}$

Ostatnia równość będzie prawdziwa tylko, jeśli granica po prawej stronie w ogóle istnieje. Wówczas iloraz granic będzie równy granicy ilorazu i nie musimy tym sinusem sobie głowy zawracać, skoro zbiega do $1$. :)

No to sprawdzamy, czy istnieje.

$\lim_{(x \to 1^-)}\frac{1}{1-x}*\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{1}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{1-x}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{2}{\pi}\frac{\pi}{2}\frac{2cos(\frac{\pi x}{2}) sin(\frac{\pi x}{2})}{-1}=0$

Oczywiście skorzystaliśmy tu powtórnie z de l'Hospitala.
Ostatecznie granica istnieje, więc wcześniejsze też istnieją.
$ \lim_{(x \to 1^-)}(1-x)^{cos\frac{\pi x}{2}}=\lim_{(x \to 1^-)}e^{ln(1-x)*cos\frac{\pi x}{2}}=e^{\lim_{(x \to 1^-)} ln(1-x)*cos\frac{\pi x}{2}}=e^{\lim_{(x \to 1^-)}\frac{2}{\pi}\frac{\pi}{2}\frac{2cos(\frac{\pi x}{2}) sin(\frac{\pi x}{2})}{-1}}=e^0=1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 54 drukuj