logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3881

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wujo
postów: 29
2015-11-24 21:09:49

Zbadac działanie a*b=a^2+5b a,b\inC

Czy jest:

- łączne
- przemienne
- ma el. neutralny
- ma el. zerowy
- ma dzielniki zera
- ma element idempotentny
- ma element nilpotetny
- ma element pierwotny

Moja odpwiedz jest taka:

To działanie nie jest:
- łaczne
- przemienne
- nie posiada elementu neutralnego i zerowego


Prosze o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.


tumor
postów: 8070
2015-11-24 21:21:02

Ale jakieś argumenty? Dowody? Przykłady? Podajesz tylko wynik, a opisz jakieś rozumowanie, które go niego prowadzi.


wujo
postów: 29
2015-11-24 21:30:23

1) Łączne

a*(b*c) = (a*b)*c

L=a*(b*c)=a*(b^2+5c)=a^2+5(b^2+5c) = a^2+5b^2+5c

P=(a*b)*c=(a^2+5b)*c=(a^2+5b)^2+5c=a^4+10a^2b+25b^2

L\neqP Nie jest łączne


2) Przemiennosc

a*b = b*a

L=a*b=a^2+5b
P=b*a=b^2+5a=5a+b^2

L\neqP Nie jest przemienne


3) Element neutralny

a*e=e*a=a

a*e=a

a^2+5e=a

Nie posiada elementu neutralnego


4) Element zerowy


a*z=z*a=z


a*z=z

a^2+5z=z

a^2= -4z

Nie posiada elementu zerowego



tumor
postów: 8070
2015-11-24 21:44:18

literówka
$ L=a*(b*c)=a*(b^2+5c)=a^2+5(b^2+5c) = a^2+5b^2+25c$
i przeoczenie
$P=(a*b)*c=(a^2+5b)*c=(a^2+5b)^2+5c=a^4+10a^2b+25b^2+5c$
ale ogólnie wnioskowanie jest słuszne, wyniki dla niektórych przynajmniej a,b,c nie będą się zgadzać, nie ma łączności

W przemienności ok.

Jeśli chodzi o element neutralny, to
$a^2+5e=a$
i zarazem
$e^2+5a=a$
Nie dla każdego $a$ w ogóle da się dobrać e, by układ tych dwóch równań był spełniony, nie mówiąc już o dobraniu e, które spełnia ten układ dla każdego $a$.

Jeśli chodzi o element zerowy, to podobnie
a*z=z, czyli $a^2+5z=z$, ale z drugiej strony
z*a=z, czyli $z^2+5a=z$,
układ takich dwóch równań również nie dla każdego $a$ w ogóle ma rozwiązanie.

Jeśli nie ma zera, to nie może mieć dzielników zera czy elementu nilpotentnego.
Jeśli nie ma jedynki, to nie może mieć elementu pierwotnego.

Zostało sprawdzić element idempotentny, czyli czy możliwe jest, że

a*a=a


wujo
postów: 29
2015-11-24 21:48:59

Element idempotetny:

a*a=a

a*a=a^2+5a


a^2+5a=a

a^2= -4a

Nie posiada elementu idempotentnego.


tumor
postów: 8070
2015-11-24 21:53:36

Widzisz, to, że po dwóch stronach równania masz inne literki, to nie oznacza, że te dwie strony równania są różne.

Jeśli a=-4, to akurat te dwie strony będą takie same, obie równe 16.


----

W przypadku sprawdzania istnienia elementu zerowego czy jedynki sprawdzamy, czy jakiś element z lub e spełnia pewne równania ZAWSZE, dla KAŻDEGO a. Wówczas można pokazać na przykład to, że dla a=8 potrzeba innych z,e niż dla a=120. I to wystarczy za dowód, że takie uniwersalne z,e nie istnieją.

Ale w przypadku szukania elementu idempotentnego wystarczy nam JEDNO DOWOLNE a, dla którego $a^2=-4a$.
To jest równanie kwadratowe z liceum.
$a(a+4)=0$
czyli a=0 lub a=-4, te dwa elementy są idempotentne.


wujo
postów: 29
2015-11-24 21:56:09

ok, robie nastepny przyklad

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj