logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3882

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-24 21:12:01

Zbadaj funkcje:

a)$f(x)=arcsin\frac{2x}{1+x^2}$

zagadnienie ogólnie jest mi znane, ale w przypadku tej funkcji nie mogę obliczyć drugiej pochodnej. Po kolei:

dziedzina
$x\in (-\infty,\infty)$
asymptoty
$A=\lim_{x \to \infty}\frac{arcsin\frac{2x}{1+x^2}}{x}=0$
$B=\lim_{x \to \infty}arcsin\frac{2x}{1+x^2}=0$, bo
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{1+x^2}=0$

asymptota w -$\infty$ jest taka sama y=0

$f'(x)=\frac{-2x^2+2}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}(1+x^2)^2}$

f jest rosnąca (-1,1)
f jest malejąca $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$

Nie wiem czy dobrze, pominąłem obliczenia i podałem głównie wyniki. Ale doszedłem do tego momentu i nie wiem czy dobrze robię, bo gdy próbuje obliczyć drugą pochodną wychodzi mi jakiś "nieprzyjemne" wzór, którego nie dokończyłem obliczać. Może pierwsza pochodna jest źle albo jakoś inaczej, prościej da się obliczyć wypukłość. Proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2015-11-24 21:19:43

Pierwsza pochodna wygląda uczciwie.

Może zapisanie jej jako
$2(1-(\frac{2x}{1+x^2})^2)^{-\frac{1}{2}}(1+x^2)^{-2}(1-x^2)$
pozwoli to trochę łatwiej policzyć ze wzoru na iloczyn, zamiast ze wzoru na iloraz



student113
postów: 156
2015-11-24 21:53:16

Dobra, jutro się z tym zmierzę. Mam jeszcze jedną funkcje:

b)$x^x$

asymptot brak ? (tak mi wyszło )

$f'(x)=x^x(lnx+1)$

$f"(x)=x^x(lnx+1)^2+x^x*\frac{1}{x} $

no i nie wiem jak z tego wyliczyć punkty przegięcia i wypukłość

$x^x(lnx+1)^2+x^x*\frac{1}{x} =0 $
$(lnx+1)^2+\frac{1}{x} =0 $

no i tu się zaciąłem, gdy podniosłem ze wzoru skróconego mnożenia to pomyślałem o delcie, ale jest to $+\frac{1}{x}$, wiec moje pomysły się skończyły




tumor
postów: 8070
2015-11-24 22:01:05

po pierwsze wypada zacząć od dziedziny. $x>0$, żebyśmy mieli funkcję rzeczywistą różniczkowalną

Dla $x\to 0+$ wartość wyrażenia zbliża się do 1, czyli pionowej asymptoty nie ma.
dla $x\to \infty$ wyrażenie $\frac{x^x}{x}$ ma granicę $\infty$, czyli ukośnej nie ma także.

$x^x(lnx+1)=0 \iff lnx+1=0$ czyli gdy $lnx=-1$, to rozwiązać łatwo.

Natomiast
$x^x((lnx+1)^2+\frac{1}{x})=0$ nie może mieć rozwiązań, bo kwadrat jest nieujemny, a $\frac{1}{x}$ jest dodatni, bo x jest dodatni


student113
postów: 156
2015-11-24 22:12:35

Czyli jak zbadać wypukłość?



student113
postów: 156
2015-11-24 22:13:56

Czyli pochodna jest zawsze dodatnia, co oznacza że jest wypukła?


student113
postów: 156
2015-11-24 22:15:26

Jeszcze, dlaczego dziedzina x > 0 ?


tumor
postów: 8070
2015-11-24 22:15:28

Tak. W przedziale $(0,\infty)$ druga pochodna jest dodatnia, czyli f jest wypukła.

$x^x=e^{xlnx}$, dziedziną logarytmu jest $(0,\infty)$, chyba że chcesz rozważać analizę zespoloną :)

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-24 22:16:30 przez tumor

student113
postów: 156
2015-11-24 22:21:59

Ok, skończmy na tym , wielkie dzięki

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 25 drukuj