Algebra, zadanie nr 3882

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-11-24 21:12:01 Zbadaj funkcje: a)$f(x)=arcsin\frac{2x}{1+x^2}$ zagadnienie ogólnie jest mi znane, ale w przypadku tej funkcji nie mogę obliczyć drugiej pochodnej. Po kolei: dziedzina $x\in (-\infty,\infty)$ asymptoty $A=\lim_{x \to \infty}\frac{arcsin\frac{2x}{1+x^2}}{x}=0$ $B=\lim_{x \to \infty}arcsin\frac{2x}{1+x^2}=0$, bo $\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{1+x^2}=0$ asymptota w -$\infty$ jest taka sama y=0 $f'(x)=\frac{-2x^2+2}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}(1+x^2)^2}$ f jest rosnąca (-1,1) f jest malejąca $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ Nie wiem czy dobrze, pominąłem obliczenia i podałem głównie wyniki. Ale doszedłem do tego momentu i nie wiem czy dobrze robię, bo gdy próbuje obliczyć drugą pochodną wychodzi mi jakiś "nieprzyjemne" wzór, którego nie dokończyłem obliczać. Może pierwsza pochodna jest źle albo jakoś inaczej, prościej da się obliczyć wypukłość. Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2015-11-24 21:19:43 Pierwsza pochodna wygląda uczciwie. Może zapisanie jej jako $2(1-(\frac{2x}{1+x^2})^2)^{-\frac{1}{2}}(1+x^2)^{-2}(1-x^2)$ pozwoli to trochę łatwiej policzyć ze wzoru na iloczyn, zamiast ze wzoru na iloraz

student113 postów: 156	2015-11-24 21:53:16 Dobra, jutro się z tym zmierzę. Mam jeszcze jedną funkcje: b)$x^x$ asymptot brak ? (tak mi wyszło ) $f'(x)=x^x(lnx+1)$ $f"(x)=x^x(lnx+1)^2+x^x\frac{1}{x} $ no i nie wiem jak z tego wyliczyć punkty przegięcia i wypukłość $x^x(lnx+1)^2+x^x\frac{1}{x} =0 $ $(lnx+1)^2+\frac{1}{x} =0 $ no i tu się zaciąłem, gdy podniosłem ze wzoru skróconego mnożenia to pomyślałem o delcie, ale jest to $+\frac{1}{x}$, wiec moje pomysły się skończyły

tumor postów: 8070	2015-11-24 22:01:05 po pierwsze wypada zacząć od dziedziny. $x>0$, żebyśmy mieli funkcję rzeczywistą różniczkowalną Dla $x\to 0+$ wartość wyrażenia zbliża się do 1, czyli pionowej asymptoty nie ma. dla $x\to \infty$ wyrażenie $\frac{x^x}{x}$ ma granicę $\infty$, czyli ukośnej nie ma także. $x^x(lnx+1)=0 \iff lnx+1=0$ czyli gdy $lnx=-1$, to rozwiązać łatwo. Natomiast $x^x((lnx+1)^2+\frac{1}{x})=0$ nie może mieć rozwiązań, bo kwadrat jest nieujemny, a $\frac{1}{x}$ jest dodatni, bo x jest dodatni

student113 postów: 156	2015-11-24 22:12:35 Czyli jak zbadać wypukłość?

student113 postów: 156	2015-11-24 22:13:56 Czyli pochodna jest zawsze dodatnia, co oznacza że jest wypukła?

student113 postów: 156	2015-11-24 22:15:26 Jeszcze, dlaczego dziedzina x > 0 ?

tumor postów: 8070	2015-11-24 22:15:28 Tak. W przedziale $(0,\infty)$ druga pochodna jest dodatnia, czyli f jest wypukła. $x^x=e^{xlnx}$, dziedziną logarytmu jest $(0,\infty)$, chyba że chcesz rozważać analizę zespoloną :) Wiadomość była modyfikowana 2015-11-24 22:16:30 przez tumor

student113 postów: 156	2015-11-24 22:21:59 Ok, skończmy na tym , wielkie dzięki

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj