logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 3886

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat2015
postów: 3
2015-11-25 17:48:45

Witam, moim zadaniem jest omówienie jednego z modeli matematematycznych, a dokładnie modelu Nicholsona-Baileya. Model ten składa się z dwóch równań, na podstawie których mam wyznaczyć jego rozwiązanie, a nie mam kompletnego pojęcia jak się za to zabrać. Czy jest ktoś to jest mi w stanie wytłumaczyć, co należy zrobić krok po kroku?

Model:
Opisuje układ pasożyt-żywiciel, przy czym rozważany jest taki typ pasożyta, który po wtargnięciu do organizmu żywiciela, powoduje jego śmierć.
$Z_t$ liczebność gatunku żywicieli w chwili t
$\lambda_1$liczba potomków jednego zdrowego osobnika gatunku żywiciela w chwili t
$P_t$ liczebność pasożytów w chwili t
$\lambda_2$ liczba potomków pasożyta
$I_t$ całkowita liczba zetknięć między pasożytami i potencjalnymi żywicielami w chwili t

W chwili t średnia liczba zetknięć jednego osobnika gatunku żywiciela z pasożytami wynosi:
$I_t/Z_t =aP_t$

Gdzie, a - to współczynnik zdolności wyszukiwania żywiciela przez pasożyta

Ostateczna postać modelu, którego poszukuje rozwiązanie
$Z_{t+1}= \lambda_1\cdot(Z_t\cdot e^{-aP_t})$
$P_{t+1}= \lambda_2\cdot Z_t(1-e^{- aP_t})$

model ten jest układem równań różniczkowych będących iteracjami funkcji:
$F(x,y)=(\lambda_1\cdot xe^{-ay},\lambda_2\cdot x(1-e^{-ay}))$

Dla zadanych początkowych liczebności żywicieli $Z_0$ i pasożytów $P_0$

Bardzo proszę o pomoc!


Wiadomość była modyfikowana 2015-11-25 17:52:30 przez mat2015

janusz78
postów: 820
2015-11-25 20:21:54

Jest to układ dwóch równań różnicowych.

Proponuję numeryczną metodę Newtona linearyzacji funkcji F, G
układu:
$ x_{1}(t+1)= F(x_{1}(t),x_{2}(t)),$

$ x_{2}(t+1)= G(x_{1}(t),x_{2}(t)).$


mat2015
postów: 3
2015-11-25 22:23:37

Niestety, nigdy nie miałam do czynienia z tą metodą, czy mogłabym prosić o jakieś krótkie objaśnienie?


janusz78
postów: 820
2015-11-25 23:04:35

Zakładamy, że punkt $ (x_{1}*(t), x_{2}*(t)) $jest

punktem równowagi, takim, że $x_{1}*= F(x_{1}*, x_{2}*), x_{2}* = G(x_{1}*, x_{2}*).$

Linearyzujemy $ F,\ \ G $ wokół tego punktu.

$x_{1}*(t) = x_{1}* + z_{1}(t), \ \ x_{2}*(t)= x_{2}*+ z_{2}(t).$

$ z_{1}(t),\ \ z_{2}(t)$ są małymi odchyleniami.


$F(x_{1}*, x_{2}*)+ \left(\frac{\partial F}{\partial x_{1}}\right)*z_{1}(t)+\left(\frac{\partial F}{\partial x_{2}}\right)*z_{2}(t)$

$G(x_{1}*, x_{2}*)+ \left(\frac{\partial G }{\partial x_{1}}\right)*z_{1}(t)+\left(\frac{\partial G}{\partial x_{2}}\right)*z_{2}(t)$

Przeprowadzamy aproksymację w pierwszym kroku iteracji

$x_{1}* +z_{1}(t+1)\approx F(x_{1}*,x_{2}*)+\left(\frac{\partial F}{\partial x_{1}}\right)*z_{1}(t)+\left(\frac{\partial F}{\partial x_{2}}\right)*z_{2}(t)$

$x_{2}* +z_{2}(t+1)\approx G(x_{1}*,x_{2}*)+\left(\frac{\partial G}{\partial x_{1}}\right)*z_{1}(t)+\left(\frac{\partial G}{\partial x_{2}}\right)*z_{2}(t)$

Zapisujemy powyższy układ równań w postaci macierzowej z macierzą Jacobi (pochodnych cząstkowych rzędu I) i stosujemy do niego metodę iteracyjną stycznych Newtona.




Wiadomość była modyfikowana 2015-11-25 23:06:21 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj