Inne, zadanie nr 3886

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat2015 postów: 3	2015-11-25 17:48:45 Witam, moim zadaniem jest omówienie jednego z modeli matematematycznych, a dokładnie modelu Nicholsona-Baileya. Model ten składa się z dwóch równań, na podstawie których mam wyznaczyć jego rozwiązanie, a nie mam kompletnego pojęcia jak się za to zabrać. Czy jest ktoś to jest mi w stanie wytłumaczyć, co należy zrobić krok po kroku? Model: Opisuje układ pasożyt-żywiciel, przy czym rozważany jest taki typ pasożyta, który po wtargnięciu do organizmu żywiciela, powoduje jego śmierć. $Z_t$ liczebność gatunku żywicieli w chwili t $\lambda_1$liczba potomków jednego zdrowego osobnika gatunku żywiciela w chwili t $P_t$ liczebność pasożytów w chwili t $\lambda_2$ liczba potomków pasożyta $I_t$ całkowita liczba zetknięć między pasożytami i potencjalnymi żywicielami w chwili t W chwili t średnia liczba zetknięć jednego osobnika gatunku żywiciela z pasożytami wynosi: $I_t/Z_t =aP_t$ Gdzie, a - to współczynnik zdolności wyszukiwania żywiciela przez pasożyta Ostateczna postać modelu, którego poszukuje rozwiązanie $Z_{t+1}= \lambda_1\cdot(Z_t\cdot e^{-aP_t})$ $P_{t+1}= \lambda_2\cdot Z_t(1-e^{- aP_t})$ model ten jest układem równań różniczkowych będących iteracjami funkcji: $F(x,y)=(\lambda_1\cdot xe^{-ay},\lambda_2\cdot x(1-e^{-ay}))$ Dla zadanych początkowych liczebności żywicieli $Z_0$ i pasożytów $P_0$ Bardzo proszę o pomoc! Wiadomość była modyfikowana 2015-11-25 17:52:30 przez mat2015

janusz78 postów: 820	2015-11-25 20:21:54 Jest to układ dwóch równań różnicowych. Proponuję numeryczną metodę Newtona linearyzacji funkcji F, G układu: $ x_{1}(t+1)= F(x_{1}(t),x_{2}(t)),$ $ x_{2}(t+1)= G(x_{1}(t),x_{2}(t)).$

mat2015 postów: 3	2015-11-25 22:23:37 Niestety, nigdy nie miałam do czynienia z tą metodą, czy mogłabym prosić o jakieś krótkie objaśnienie?

janusz78 postów: 820	2015-11-25 23:04:35 Zakładamy, że punkt $ (x_{1}(t), x_{2}(t)) $jest punktem równowagi, takim, że $x_{1}= F(x_{1}, x_{2}), x_{2} = G(x_{1}, x_{2}).$ Linearyzujemy $ F,\ \ G $ wokół tego punktu. $x_{1}(t) = x_{1} + z_{1}(t), \ \ x_{2}(t)= x_{2}+ z_{2}(t).$ $ z_{1}(t),\ \ z_{2}(t)$ są małymi odchyleniami. $F(x_{1}, x_{2})+ \left(\frac{\partial F}{\partial x_{1}}\right)z_{1}(t)+\left(\frac{\partial F}{\partial x_{2}}\right)z_{2}(t)$ $G(x_{1}, x_{2})+ \left(\frac{\partial G }{\partial x_{1}}\right)z_{1}(t)+\left(\frac{\partial G}{\partial x_{2}}\right)z_{2}(t)$ Przeprowadzamy aproksymację w pierwszym kroku iteracji $x_{1}* +z_{1}(t+1)\approx F(x_{1},x_{2})+\left(\frac{\partial F}{\partial x_{1}}\right)z_{1}(t)+\left(\frac{\partial F}{\partial x_{2}}\right)z_{2}(t)$ $x_{2}* +z_{2}(t+1)\approx G(x_{1},x_{2})+\left(\frac{\partial G}{\partial x_{1}}\right)z_{1}(t)+\left(\frac{\partial G}{\partial x_{2}}\right)z_{2}(t)$ Zapisujemy powyższy układ równań w postaci macierzowej z macierzą Jacobi (pochodnych cząstkowych rzędu I) i stosujemy do niego metodę iteracyjną stycznych Newtona. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-25 23:06:21 przez janusz78

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj