logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 3897

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

goldenlion45
postów: 1
2015-11-29 13:59:35

$\sum_{i=1}^{n}$ $\frac{1}{(a+i-1)(a+i)}$=$\frac{n}{a(a+n) }$ a>0 rozwiązać za pomocą indukcji.Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania kompletnie nie wiem jak sie za to zabrac z góry dziekuje :)

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-29 14:43:34 przez goldenlion45

tumor
postów: 8085
2015-11-29 18:11:28

Indukcyjnie zawsze zabieramy się dokładnie tak samo, zatem czego nie wiesz?

dla $n=1$ będzie
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(a+i-1)(a+i)}=\frac{n}{a(a+n)}$

zakładamy, że jest dla pewnego n naturalnego
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(a+i-1)(a+i)}=\frac{n}{a(a+n)}$

wówczas
$\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{(a+i-1)(a+i)}=\frac{n}{a(a+n)}+\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\frac{n(a+n+1)+a}{a(a+n)(a+n+1)}=
\frac{n(n+1)+a(n+1)}{a(a+n)(a+n+1)}=
\frac{(n+1)}{a(a+n+1)}
$



janusz78
postów: 820
2015-11-29 18:34:19

II sposób

Rozkładamy ułamek na sumę dwóch ułamków prostych

$ \frac{1}{a+i-1)(a+i)}= \frac{A}{a+i-1}+ \frac{B}{a+i},$
$ A=1, \ \ B=-1$ - proszę sprawdzić.

Po podstawieniu do sumy

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(a+i-1)(a+i)}= \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{a+i-1} - \frac{1}{a+i}\right)= \frac{1}{a}- \frac{1}{a+n}= \frac{n}{a(a+n)}$, bo redukują się wszystkie wyrazy szeregu od drugiego do $ (n-1).$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 12 drukuj