logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 3898

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-29 14:07:54

Rozwiń funkcję $\frac{2}{x+1}$w szereg Taylora w otoczeniu punktu $x_0=3$. Wyznacz wzór na resztę szeregu.

Obliczam pochodne:
$f(3)=\frac{1}{2}$
$f'(x)=-2(x+1)^{-2}$
$f''(x)=4(x+1)^{-3}$
$f'''(x)=-12(x+1)^{-4}$

Rozpisuje funkcje w szereg Taylora:
$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\frac{x-3}{1!}+\frac{1}{16}\frac{x-3)^2}{2!}-\frac{3}{64}\frac{(x-3)^3}{3!}+...$

Skracam co się da z silnią i resztę co zostaje mnożę:
$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}(x-3)+\frac{1}{32}(x-3)^2-\frac{1}{128}(x-3)^3+...$

Wypisuje ogólny wzór na ciąg:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x-3)^n}{2^{2n+1}}$

W tym momencie mam problem ponieważ, wychodzi mi inny wzór niż w odpowiedziach, pewnie coś zwaliłem z pochodnymi, liczyłem już to dwa razy i nie mogę znaleźć w którym miejscu mam błąd. Proszę o pomoc. Na dole zamieszczam wynik, jak widać różni się potęgą dwójki w mianowniku.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x-3)^n}{2^{n+1}}$


janusz78
postów: 820
2015-11-29 16:26:10

Studencie113 jest to zadanie z analizy matematycznej nie algebry.

Rozwijamy najpierw funkcję $ f $ w szereg Taylora wokół punktu 0 (w szereg Maclaurina), korzystając ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.

$f(x)= \frac{2}{x+1} = 2\frac{1}{(1-(-x)}= 2 \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^{n} = 2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.$

Niech teraz $ u = x-3. $

Wtedy

$f(x) = \frac{2}{u+4} = \frac{2}{4}\frac{1}{(1- \left(\frac{-u}{4}\right )} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{u}{4}\right)^{n}= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{x-3}{4})^{n}$

$ f(x)= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{n}(-1)^{n}(\frac{x-3}{4})^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-3)^{n}}{2^{2n+1}}.$

Masz dobrze.

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-29 16:27:00 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj