Algebra, zadanie nr 3898
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
student113 post贸w: 156 |  2015-11-29 14:07:54Rozwi艅 funkcj臋 $\frac{2}{x+1}$w szereg Taylora w otoczeniu punktu $x_0=3$. Wyznacz wz贸r na reszt臋 szeregu. Obliczam pochodne: $f(3)=\frac{1}{2}$ $f\'(x)=-2(x+1)^{-2}$ $f\'\'(x)=4(x+1)^{-3}$ $f\'\'\'(x)=-12(x+1)^{-4}$ Rozpisuje funkcje w szereg Taylora: $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\frac{x-3}{1!}+\frac{1}{16}\frac{x-3)^2}{2!}-\frac{3}{64}\frac{(x-3)^3}{3!}+...$ Skracam co si臋 da z silni膮 i reszt臋 co zostaje mno偶臋: $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}(x-3)+\frac{1}{32}(x-3)^2-\frac{1}{128}(x-3)^3+...$ Wypisuje og贸lny wz贸r na ci膮g: $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x-3)^n}{2^{2n+1}}$ W tym momencie mam problem poniewa偶, wychodzi mi inny wz贸r ni偶 w odpowiedziach, pewnie co艣 zwali艂em z pochodnymi, liczy艂em ju偶 to dwa razy i nie mog臋 znale藕膰 w kt贸rym miejscu mam b艂膮d. Prosz臋 o pomoc. Na dole zamieszczam wynik, jak wida膰 r贸偶ni si臋 pot臋g膮 dw贸jki w mianowniku. $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x-3)^n}{2^{n+1}}$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-29 16:26:10 Studencie113 jest to zadanie z analizy matematycznej nie algebry. Rozwijamy najpierw funkcj臋 $ f $ w szereg Taylora wok贸艂 punktu 0 (w szereg Maclaurina), korzystaj膮c ze wzoru na sum臋 niesko艅czonego szeregu geometrycznego. $f(x)= \frac{2}{x+1} = 2\frac{1}{(1-(-x)}= 2 \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^{n} = 2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.$ Niech teraz $ u = x-3. $ Wtedy $f(x) = \frac{2}{u+4} = \frac{2}{4}\frac{1}{(1- \left(\frac{-u}{4}\right )} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{u}{4}\right)^{n}= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{x-3}{4})^{n}$ $ f(x)= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{n}(-1)^{n}(\frac{x-3}{4})^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-3)^{n}}{2^{2n+1}}.$ Masz dobrze. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-29 16:27:00 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj