Analiza matematyczna, zadanie nr 3899

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-11-29 15:15:25 Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f , punktów x0 oraz n: Do tego nie mam odpowiedzi, dlatego liczę na sprawdzenie i pokazanie gdzie robię błąd: a)$f(x)=cos\frac{x}{3}; x0=0; n=4$ $f(0)=1$ $f'(x)=-sin\frac{x}{3} 3^{-1}$ $f'(0)=0$ $f''(x)=-cos\frac{x}{3}3^{-2}$ $f''(0)=-\frac{1}{9}$ $f'''(0)=sin\frac{x}{3} 3^{-3}$ $f'''(0)=0$ $f^{IV}(x)=cos\frac{x}{3}3^{-4}$ $f^{IV}(0)=0$ $f(x)\approx 1-\frac{1}{9}\frac{x^2}{2!}+R_4$ $R_3=cos\frac{c}{3}3^{-4}\frac{x^4}{4!}$ $f(x)\approx 1-\frac{1}{9}\frac{x^2}{2!}+cos\frac{c}{3}3^{-4}\frac{x^4}{4!}$ Tylko nie wiem jak ma być z tą resztą, czy mam obliczyć 4 wyrazy i potem resztę po czterech wyrazach Na ćwiczeniach gdy rozbiliśmy tego typu zadania, chyba dla np. n =3 pisaliśmy wyrazy dla pochodnych do n=2 a potem w R była pochodna 3 rzędu. W ogóle najlepiej gdyby ktoś to wytłumaczył, bo mamy wzór $R_n = f^{n+1}(c)...$, to oznacza że jest to reszta po n-tym wyrazie, czy dla n-tego wyrazu, jest to dla mnie nie jasne, nigdzie nie mogę znaleźć jednoznacznej odpowiedzi.

janusz78 postów: 820	2015-11-29 17:51:03 Wyprowadzimy najpierw rozwinięcie funkcji $ sin(x)$ w szereg Colina Maclaurina. Dla każdej liczby rzeczywistej $ x>0$zachodzi nierówność $ x - \frac{x^3}{3!}< sin(x)< x $ Możemy też wykazać, że $ sin(x)< x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}.$ Bo, kładąc $ f(x)= x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- sin(x),$ mamy $ f'(x)= 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-cos(x)$ i wobec tego możemy zapisać $(f')'(x)= -x +\frac{x^3}{3!}+\sin(x)$. Z pierwszej nierówności wynika, że dla każdej liczby $ x>0$ zachodzi $ (f')'(x)>0 $, a stąd wynika, że funkcja $f'$ jest ściśle rosnąca na półprostej $ [0, +\infty )$ i wobec tego, jeśli $x>0$ , to $ f(x)>f(0)=0 $ czyli $ x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}> \sin(x),$ a to chcieliśmy wykazać. Rozumując w taki sam sposób wnioskujemy, że dla $x>0$ zachodzi nierówność $ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}< \sin(x).$ Powtarzając to rozumowanie, czyli stosując zasadę indukcji matematycznej dochodzimy do wniosku, że dla liczby rzeczywistej $x>0$ i każdej całkowitej liczby nieujemnej $n $ zachodzi nierówność podwójna $x -\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^{2n-1}\frac{x^{4n-1}}{(4n-1)!}< \sin(x)< x -\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^{2n}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}$ (1) Różnica skrajnych sum jest $ \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}.$ Z kryterium ilorazowego d'Alemberta wnioskujemy, że szereg $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}$ jest zbieżny dla $ x>0.$ Z nierówności (1) wynika, że sumą szeregu $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= \sin(x)$(2) Stąd różniczkując wyraz po wyrazie (2) otrzymujemy $ \cos(x)= 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$ (3) Podstawiamy do (3) $ \frac{x}{3}$ zamiast $x,$ $\cos(\frac{x}{3}) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{3^{2n}(2n)!}.$ Notacja z resztą szeregu Taylora-Maclaurina jest różna. Proponuję pisać resztę $ R_{n}$ po rozwinięciu funkcji w szereg do pochodnej $(n-1)$-tego rzędu, tzn. dla reszty w formie Lagrange'a: $R{n}= \frac{f^{(n)}(c)}{(n)!}(x-a)^{n} \ \ c\in (x, a)\cup (a, x).$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj