Analiza matematyczna, zadanie nr 3899
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
student113 post贸w: 156 |  2015-11-29 15:15:25Napisa膰 wzory Taylora z reszt膮 Lagrange’a dla podanych funkcji f , punkt贸w x0 oraz n: Do tego nie mam odpowiedzi, dlatego licz臋 na sprawdzenie i pokazanie gdzie robi臋 b艂膮d: a)$f(x)=cos\frac{x}{3}; x0=0; n=4$ $f(0)=1$ $f\'(x)=-sin\frac{x}{3} 3^{-1}$ $f\'(0)=0$ $f\'\'(x)=-cos\frac{x}{3}*3^{-2}$ $f\'\'(0)=-\frac{1}{9}$ $f\'\'\'(0)=sin\frac{x}{3} 3^{-3}$ $f\'\'\'(0)=0$ $f^{IV}(x)=cos\frac{x}{3}*3^{-4}$ $f^{IV}(0)=0$ $f(x)\approx 1-\frac{1}{9}\frac{x^2}{2!}+R_4$ $R_3=cos\frac{c}{3}*3^{-4}\frac{x^4}{4!}$ $f(x)\approx 1-\frac{1}{9}\frac{x^2}{2!}+cos\frac{c}{3}*3^{-4}\frac{x^4}{4!}$ Tylko nie wiem jak ma by膰 z t膮 reszt膮, czy mam obliczy膰 4 wyrazy i potem reszt臋 po czterech wyrazach Na 膰wiczeniach gdy rozbili艣my tego typu zadania, chyba dla np. n =3 pisali艣my wyrazy dla pochodnych do n=2 a potem w R by艂a pochodna 3 rz臋du. W og贸le najlepiej gdyby kto艣 to wyt艂umaczy艂, bo mamy wz贸r $R_n = f^{n+1}(c)...$, to oznacza 偶e jest to reszta po n-tym wyrazie, czy dla n-tego wyrazu, jest to dla mnie nie jasne, nigdzie nie mog臋 znale藕膰 jednoznacznej odpowiedzi. |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-29 17:51:03 Wyprowadzimy najpierw rozwini臋cie funkcji $ sin(x)$ w szereg Colina Maclaurina. Dla ka偶dej liczby rzeczywistej $ x>0$zachodzi nier贸wno艣膰 $ x - \frac{x^3}{3!}< sin(x)< x $ Mo偶emy te偶 wykaza膰, 偶e $ sin(x)< x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}.$ Bo, k艂ad膮c $ f(x)= x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- sin(x),$ mamy $ f\'(x)= 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-cos(x)$ i wobec tego mo偶emy zapisa膰 $(f\')\'(x)= -x +\frac{x^3}{3!}+\sin(x)$. Z pierwszej nier贸wno艣ci wynika, 偶e dla ka偶dej liczby $ x>0$ zachodzi $ (f\')\'(x)>0 $, a st膮d wynika, 偶e funkcja $f\'$ jest 艣ci艣le rosn膮ca na p贸艂prostej $ [0, +\infty )$ i wobec tego, je艣li $x>0$ , to $ f(x)>f(0)=0 $ czyli $ x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}> \sin(x),$ a to chcieli艣my wykaza膰. Rozumuj膮c w taki sam spos贸b wnioskujemy, 偶e dla $x>0$ zachodzi nier贸wno艣膰 $ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}< \sin(x).$ Powtarzaj膮c to rozumowanie, czyli stosuj膮c zasad臋 indukcji matematycznej dochodzimy do wniosku, 偶e dla liczby rzeczywistej $x>0$ i ka偶dej ca艂kowitej liczby nieujemnej $n $ zachodzi nier贸wno艣膰 podw贸jna $x -\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^{2n-1}\frac{x^{4n-1}}{(4n-1)!}< \sin(x)< x -\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^{2n}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}$ (1) R贸偶nica skrajnych sum jest $ \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}.$ Z kryterium ilorazowego d\'Alemberta wnioskujemy, 偶e szereg $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}$ jest zbie偶ny dla $ x>0.$ Z nier贸wno艣ci (1) wynika, 偶e sum膮 szeregu $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= \sin(x)$(2) St膮d r贸偶niczkuj膮c wyraz po wyrazie (2) otrzymujemy $ \cos(x)= 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$ (3) Podstawiamy do (3) $ \frac{x}{3}$ zamiast $x,$ $\cos(\frac{x}{3}) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{3^{2n}(2n)!}.$ Notacja z reszt膮 szeregu Taylora-Maclaurina jest r贸偶na. Proponuj臋 pisa膰 reszt臋 $ R_{n}$ po rozwini臋ciu funkcji w szereg do pochodnej $(n-1)$-tego rz臋du, tzn. dla reszty w formie Lagrange\'a: $R{n}= \frac{f^{(n)}(c)}{(n)!}(x-a)^{n} \ \ c\in (x, a)\cup (a, x).$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj