logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3899

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-29 15:15:25

Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f , punktów x0 oraz n:

Do tego nie mam odpowiedzi, dlatego liczę na sprawdzenie i pokazanie gdzie robię błąd:

a)$f(x)=cos\frac{x}{3}; x0=0; n=4$

$f(0)=1$

$f'(x)=-sin\frac{x}{3} 3^{-1}$
$f'(0)=0$

$f''(x)=-cos\frac{x}{3}*3^{-2}$
$f''(0)=-\frac{1}{9}$

$f'''(0)=sin\frac{x}{3} 3^{-3}$
$f'''(0)=0$

$f^{IV}(x)=cos\frac{x}{3}*3^{-4}$
$f^{IV}(0)=0$

$f(x)\approx 1-\frac{1}{9}\frac{x^2}{2!}+R_4$

$R_3=cos\frac{c}{3}*3^{-4}\frac{x^4}{4!}$

$f(x)\approx 1-\frac{1}{9}\frac{x^2}{2!}+cos\frac{c}{3}*3^{-4}\frac{x^4}{4!}$

Tylko nie wiem jak ma być z tą resztą, czy mam obliczyć 4 wyrazy i potem resztę po czterech wyrazach
Na ćwiczeniach gdy rozbiliśmy tego typu zadania, chyba dla np. n =3 pisaliśmy wyrazy dla pochodnych do n=2 a potem w R była pochodna 3 rzędu.
W ogóle najlepiej gdyby ktoś to wytłumaczył, bo mamy wzór $R_n = f^{n+1}(c)...$, to oznacza że jest to reszta po n-tym wyrazie, czy dla n-tego wyrazu, jest to dla mnie nie jasne, nigdzie nie mogę znaleźć jednoznacznej odpowiedzi.


janusz78
postów: 820
2015-11-29 17:51:03

Wyprowadzimy najpierw rozwinięcie funkcji $ sin(x)$ w szereg Colina Maclaurina.

Dla każdej liczby rzeczywistej $ x>0$zachodzi nierówność
$ x - \frac{x^3}{3!}< sin(x)< x $

Możemy też wykazać, że $ sin(x)< x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}.$

Bo, kładąc $ f(x)= x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- sin(x),$ mamy

$ f'(x)= 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-cos(x)$
i wobec tego możemy zapisać

$(f')'(x)= -x +\frac{x^3}{3!}+\sin(x)$. Z pierwszej nierówności wynika, że dla każdej liczby $ x>0$ zachodzi $ (f')'(x)>0 $, a stąd wynika, że funkcja $f'$ jest ściśle rosnąca na półprostej $ [0, +\infty )$ i wobec tego, jeśli $x>0$ , to $ f(x)>f(0)=0 $ czyli $ x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}> \sin(x),$ a to chcieliśmy wykazać.

Rozumując w taki sam sposób wnioskujemy, że dla $x>0$ zachodzi nierówność $ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}< \sin(x).$

Powtarzając to rozumowanie, czyli stosując zasadę indukcji matematycznej dochodzimy do wniosku, że dla liczby rzeczywistej $x>0$ i każdej całkowitej liczby nieujemnej $n $ zachodzi nierówność podwójna

$x -\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^{2n-1}\frac{x^{4n-1}}{(4n-1)!}< \sin(x)< x -\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^{2n}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}$ (1)

Różnica skrajnych sum jest $ \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}.$
Z kryterium ilorazowego d'Alemberta wnioskujemy, że szereg $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}$ jest zbieżny dla $ x>0.$

Z nierówności (1) wynika, że sumą szeregu $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= \sin(x)$(2)

Stąd różniczkując wyraz po wyrazie (2) otrzymujemy

$ \cos(x)= 1 -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$ (3)

Podstawiamy do (3) $ \frac{x}{3}$ zamiast $x,$

$\cos(\frac{x}{3}) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{3^{2n}(2n)!}.$

Notacja z resztą szeregu Taylora-Maclaurina jest różna.

Proponuję pisać resztę $ R_{n}$ po rozwinięciu funkcji w szereg do pochodnej $(n-1)$-tego rzędu, tzn. dla reszty w formie Lagrange'a:
$R{n}= \frac{f^{(n)}(c)}{(n)!}(x-a)^{n} \ \ c\in (x, a)\cup (a, x).$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 36 drukuj