logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 3906

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2015-11-29 23:28:06

Rozwiązać układ równań z niewiadomymi x, y, z w zależności od parametru a $\in$ R:

$\left\{\begin{matrix} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{matrix}\right.$




tumor
postów: 8085
2015-11-30 08:40:59

Wyznacznik macierzy
$det \left[\begin{matrix} a&1&1 \\ 1&a&1\\1&1&a \end{matrix}\right]=a^3+2-3a=(a-1)(a^2+a-2)=(a-1)(a-1)(a+2)$

Wyznacznik jest niezerowy dla $a\in R\backslash\{-2,1\}$, wówczas układ jest cramerowski. Można oczywiście rozwiązać też innymi metodami.

Dla a=1 układ redukuje się do równania $x+y+z=1$, jego rozwiązania można opisać jako
$\left\{\begin{matrix} x=p \\ y=q \\z=1-p-q \end{matrix}\right.$ dla $p,q\in R$

Dla $a=-2$ macierz uzupełniona układu ma postać
$\left[\begin{matrix} -2&1&1&1 \\ 1&-2&1&-2\\1&1&-2&4 \end{matrix}\right]$
Rząd tej macierzy wynosi 3 (można na przykład liczyć minory stopnia 3), co wyklucza istnienie rozwiązań układu (tw. Kroneckera-Capellego)


brightnesss
postów: 113
2015-12-01 16:32:06

Dzieki :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 42 drukuj