logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 3912

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

blunio
postów: 21
2015-11-30 22:44:28

Czy W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V nad R?
V=$R^{2}$ W={(x,y)$\in$$R^{2}$:xy<=0}

wiem, ze musza byc spelnione 2 warunki, zeby to sprawdzic:
a) v,w $\in$ W $\Rightarrow$ v+w $\in$
b)alfa $\in$ R, V$\in$W$\Rightarrow$alfa*V$\in$W

Niestety nie mam kompletnie pojęcia, co to po ludzku znaczy, jak się to robi, jaki jest tego cel i o co w tym chodzi.
Proszę o wskazówki oraz najlepiej opis, teoretyczny co tu się dzieje, jak najbardziej łopatologicznie.


blunio
postów: 21
2015-11-30 22:47:22

w pdkt a) v+w $\in$ W


tumor
postów: 8085
2015-11-30 22:51:10

W algebrze bada się różne ogólne struktury i ich własności, a następnie w innych działach matematyki, fizyki albo informatyki korzysta się z dorobku algebry.

Podpunkt a) mówi, że jeśli dwa elementy należą do podprzestrzeni, to ich suma także
Podpunkt b) mówi, że jeśli jakiś element należy do podprzestrzeni, to iloczyn tego elementu przez skalar także należy.

Jeśli weźmiemy dwa elementy zbioru W, to ich suma niekoniecznie należy do W. Bo na przykład
$(-1,3),(2,-2)\in W$, ale $(1,1)\notin W$
Wobec niespełnienia a), nie może to być podprzestrzeń.

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-30 22:52:02 przez tumor

blunio
postów: 21
2015-11-30 23:08:11

Widzę schemat, którym to zostało rozwiązanie.
A na przykład dla kolejnego przykładu:

V=$R^{3}$ W={(x,y,z)$\in$$R^{3}$ :$(x+y)^{2}$=$z^{2}$

Jest to przykład mniej oczywisty, bo nie wystarczy zasugerować się znakiem wybranych liczb. Wybrałem taki liczby, żeby równość się zgadzała, i okazało się, że po działaniu z podpunktu a), również się zgadza, czyli podpunkt a) jest ok. Moje liczby to:
(1,1,2),(2,2,4)
(3,3,6) - po zsumowaniu.

Czy jeżeli dla jednej kombinacji liczb podpunkt się zgadza, to znaczy się, że zawsze jest spełniony, czy może być tak, że raz się zgadza a raz nie i trzeba szukać różnych przykładów?


tumor
postów: 8085
2015-11-30 23:17:33

Może być różnie.

Jeśli masz udowodnić, że to JEST podprzestrzeń, to wtedy musisz pokazać, że warunki spełnione będą zawsze, a nie tylko dla jakiegoś jednego przykładu.

Jeśli dowodzisz, że NIE JEST podprzestrzeń, to wystarczy przykład.

Sprawdź (-1,-1,2) i (1,1,2)


blunio
postów: 21
2015-11-30 23:22:15

Sprawdziłem, nie został spełniony warunek a). Czy jest sposób na zrobienie tego ogólnie, a nie na wiarę w intuicję, że się dobierze odpowiednie liczby?



tumor
postów: 8085
2015-11-30 23:26:35

Albo to jest podprzestrzeń albo nie. ;) Najlepiej jest to wiedzieć, zanim się zacznie dowodzić. Wtedy wiesz, czy szukasz kontrprzykładu, czy udowadniasz, że warunki są spełnione zawsze.


blunio
postów: 21
2015-11-30 23:39:41

no, brzmi logicznie Tylko, że jak wiedzieć z góry, bez dowodu?

A dla takiego przykładu:

V=$R^{3}$
W={(x,y,z)$\in$$R^{3}$$(x+y)^{2}$+$z^{2}$=0

wiem, ze juz nie dla kazdej liczby to rownanie nie bedzie spelnione, a konkretniej moze byc tylko:
z=0
x=0 i y=0 lub x=-y

Rozumiem, że przykłady do badania, czy jest podprzestrzenią biorę tylko ze zbioru tych xyz, który spełniają tą nierówność, tak? (w sumie tak w poprzednich podpunktach robiliśmy).

W takim razie, czy odpowiedzią do tego zadania jest, że będzie to podprzestrzeń?(podstawiłem parę liczb i wychodzi, że tak).

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-30 23:43:59 przez blunio

tumor
postów: 8085
2015-11-30 23:47:57

Będzie.

Ale jeśli chcesz dowodzić, że będzie, to już dowód musi być trochę lepszy niż wymienienie kilku przykładów.

a) Jeśli $(a,b,c),(x,y,z)\in W$, to znaczy $c=z=0$ oraz $a=-b, x=-y$

Wówczas $(a,b,c)+(x,y,z)=(a+x,b+y,c+z)$
Oczywiście $c+z=0$, natomiast $a+x+b+y=0$, wobec tego
$(a+x+b+y)^2+(c+z)^2=0$, czyli $(a+x,b+y,c+z)\in W$

b) jeśli $(x,y,z)\in W$, to $z=0$ oraz $x=-y.$
Wtedy $\alpha*(x,y,z)=(\alpha x, \alpha y, \alpha z)$, oczywiście $\alpha z=0$, natomiast $\alpha x-\alpha y=0$, wobec tego
$(\alpha x+\alpha y)^2+(\alpha z)^2=0$, czyli $(\alpha x, \alpha y, \alpha z)\in W$


blunio
postów: 21
2015-11-30 23:58:17

czy w przedostatniej linijce nie powinno być znaku dodawania?
w sensie alfa*x+afla*y=0?

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 6 drukuj