logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3913

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-30 23:06:49

Oszacowac dokładnosci podanych wzorów przyblizonych na wskazanych przedziałach:

$ln(1-x)\approx -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}, |x|\le 0,1$

$f'(x)=-(1-x)^{-1}$
$f'(x)=-(1-x)^{-2}$
$f'(x)=-2(1-x)^{-3}$
$f'(x)=-6(1-x)^{-4}$

$ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-6(1-c)^{-4}\frac{x^4}{4!}$ c pomiędzy 0 a x

Na ćwiczeniach robiliśmy to jakoś tak:
jeśli $|c|, |x|<0,1$

teraz rozbijaliśmy resztę Lagrange'a na dwie części i porównywaliśmy żeby część z c była ograniczona od góry, oraz część x była ograniczona od góry ( nie wiem czy mówię jasno, robiliśmy tak żeby część z c i x była maksymalna dla możliwego przedziału x) a potem mnożyliśmy to i wychodził błąd przybliżenia. Ale w tym przypadku jest reszta na minusie, to jak to oszacować? Gdy oszacuje to od góry to liczba będzie najmniejsza. Nie wiem jak to zrobić.


tumor
postów: 8085
2015-11-30 23:15:11

Oszacuj z dołu. :) Albo inaczej: oszacuj z góry wartość bezwzględną z reszty.


student113
postów: 156
2015-11-30 23:38:11

dobra bo zaczyna mi się to wszystko mieszać

$R= -6(1-c)^{-4}\frac{x^4}{4!}$

$6(1-c)^{-4} \ge 6(1+0,1)^{-4}$

$\frac{x^4}{4!} \ge \frac{(0,1)^4}{4!}$

$6(1,1)^{-4}*\frac{(0,1)^4}{24}=\frac{1}{58564}$

Coś takiego, czy w ogóle na minusie to zapisać?
A gdyby było tak że x było by np. do 5 potęgi i przy wyborze ujemnej wartości zmieniał by się znak, to trzeba wybrać wartość ujemną? Rozumie to tak, że trzeba dobrać tak c i x, z zadanego przedziału, żeby reszta Lagrange'a była jak największa. Czy dobrze rozumuje?


tumor
postów: 8085
2015-11-30 23:52:15

No mieszasz, mieszasz. Masz oszacować dokładność. Czyli opisać maksymalny błąd, jaki popełniasz, używając zamiast ln(1-x) tego wzoru przybliżonego.
Błąd to $\mid 6(1-c)^{-4}\frac{x^4}{4!}\mid$
bo tu jest obojętne, czy pomylisz się o tyle w górę czy w dół, prawda?
A jaki jest maksymalny błąd, skoro $x\in [-0,1;0,1]$?

(pomyśl w którą stronę nierówności)


student113
postów: 156
2015-11-30 23:59:18

$ R= -6(1-c)^{-4}\frac{x^4}{4!}$

$6(1-c)^{-4} \le 6(1-0,1)^{-4}
$

$\frac{x^4}{4!} \le \frac{(-0,1)^4}{4!}$

$6(0,9)^{-4}*\frac{(-0,1)^4}{24}=\frac{1}{26244}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 4 drukuj