Analiza matematyczna, zadanie nr 3918
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
brightnesss post贸w: 113 |  2015-12-01 16:31:33Czy ka偶dy ci膮g ograniczony ma monotoniczny podci膮g zbie偶ny? Ps Z gory dzieki za pomoc. |
magda95 post贸w: 120 | 2015-12-01 16:44:12 Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa m贸wi, 偶e ka偶dy ci膮g ograniczony posiada podci膮g zbie偶ny. Nie m贸wi ono nic o monotoniczno艣ci tego podci膮gu. We藕my dowolny taki podci膮g zbie偶ny i oznacznmy go a. Jednak wiemy, 偶e ka偶dy podci膮g ci膮gu zbie偶nego te偶 jest zbie偶ny i 偶e ka偶dy ci膮g rzeczywisty posiada podci膮g monotoniczny, zatem a te偶 posiada podci膮g monotoczny i jest on zbie偶ny. |
brightnesss post贸w: 113 | 2015-12-01 17:37:36 A jak udowodni膰 ze kazdy ciag rzeczywisty posiada podciag monotoniczny? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-12-01 21:26:58 Mo偶emy za艂o偶y膰, 偶e ci膮g taki nie posiada podci膮gu malej膮cego ani sta艂ego (bo je艣li je posiada, to oczywi艣cie ma podci膮g monotoniczny). Pozostaje pokaza膰, 偶e w贸wczas ma podci膮g rosn膮cy. Istnieje $a_{n_0}$ takie, 偶e dla $k>n_0$ istnieje niesko艅czenie wiele wyraz贸w ci膮gu $a_n$ spe艂niaj膮cych $a_k>a_{n_0}$. Gdyby bowiem nie by艂a to prawda, to dla ka偶dego $a_k$ niesko艅czenie wiele (dok艂adniej: wszystkie poza sko艅czon膮 ilo艣ci膮) p贸藕niejszych wyraz贸w by艂oby mniejszych od $a_{n_0}$ lub r贸wnych, ale to oznacza istnienie podci膮gu malej膮cego lub sta艂ego. Zatem $b_1=a_{n_0}$. Ograniczmy si臋 teraz do wyraz贸w ci膮gu $a_n$, kt贸re s膮 wi臋ksze ni偶 $a_{n_0}$ i maj膮 indeksy wi臋ksze ni偶 $n_0$. Stosujemy dla nich to samo rozumowanie, istnieje w艣r贸d nich $a_{p}$, od kt贸rego jest wi臋kszych niesko艅czenie wiele dalszych wyraz贸w. Zatem $b_2 =a_p$. Kontynuuj膮c ten krok otrzymujemy podci膮g rosn膮cy. Pokazali艣my zatem, 偶e je艣li w ci膮gu nie istniej膮 podci膮gi malej膮ce lub sta艂e, to musi istnie膰 rosn膮cy. Dotyczy to w szczeg贸lno艣ci ci膮g贸w ograniczonych, kt贸re si臋 pod tym wzgl臋dem nie r贸偶ni膮. Je艣li mamy podci膮g monotoniczny i ograniczony (jak wszystkie podci膮gi ci膮gu ograniczonego), to kres ogranicze艅 (np kres dolny zbioru ogranicze艅 g贸rnych dla podci膮gu rosn膮cego) spe艂nia definicj臋 granicy ci膮gu. St膮d wniosek, 偶e ka偶dy ci膮g ograniczony zawiera podci膮g (monotoniczny) zbie偶ny. |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-12-01 21:33:19 Pos艂u偶ymy si臋 nast臋puj膮c膮 konstrukcj膮 dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa - metod膮 po艂owienia (bisekcji) przedzia艂u. Niech $ c, d$ b臋d膮 takimi liczbami rzeczywistymi, 偶e nier贸wno艣膰 $ d \leq a_{n}\leq c $ zachodzi dla ka偶dego $ n.$ Bez straty og贸lno艣ci mo偶emy przyj膮膰, 偶e ci膮g $(a_{n})$ nie zawiera podci膮gu sta艂ego- je艣li zawiera, to ten podci膮g jest zbie偶ny. Niech $ n_{1}= 1,\ \ c_{1}=c, \ \ d_{1}=d.$ Jedna z po艂贸wek przedzia艂u $ [c, d] $ (lub obie) zawiera niesko艅czenie wiele wyraz贸w ci膮gu $ (a_{n}).$ Niech $ [c_{2}, d_{2}]$ b臋dzie t膮 w艂a艣nie po艂贸wk膮. Je艣li np. w przedziale $ [c, \frac{c+d}{2}] $ jest niesko艅czenie wiele wyraz贸w ci膮gu $ (a_{n})$ to przyjmujemy $ c_{2}=c_{1}=c, \ \ d_{2}= \frac{c+d}{2},$ je艣li w w przedziale $ [c, \frac{c+d}{2}] $ jest sko艅czenie wiele wyraz贸w ci膮gu $ a_{n}, $ to w przedziale $ [\frac{c+d}{2}, d]$ musi ich by膰 niesko艅czenie wiele. W tym przypadku przyjmujemy $ c_{2}= \frac{c+d}{2},\ \ d_{2}= d_{1}= d$ i niech $ n_{2} > n_{1}$ b臋dzie takim numerem, 偶e $ a_{n_{2}}\in [c_{2}, d_{2}].$ Powtarzamy przeprowadzone rozumowanie do przedzia艂u $[c_{2}, d_{2}]$ i wyraz贸w ci膮gu nast臋puj膮cych po $ a_{n_{2}}.$ Dla $ j= 1,2,...$ mamy wobec tego $ c_{j}\leq a_{n_{j}}\leq d_{j}$ i $ d_{j}-c_{j} = \frac{d-c}{2^{j}}$ oraz $ c_{1}\leq c_{2}\leq c_{3}, \ \ d_{1}\geq d_{2}\geq d_{3}.$ Kontynuuj膮c to post臋powanie otrzymujemy niemalej膮cy ci膮g $(c_{j}) $ oraz nierosn膮cy ci膮g $ (d_{j}), $ przy czym $ d_{j}- c_{j}= \frac{d-c}{2^{j}}.$ Ci膮gi te maj膮 granice, gdy偶 s膮 monotoniczne. Granice te s膮 r贸wne, bo $\lim_{j\to \infty}(d_{j} - c_{j}) = \lim_{j\to \infty}\frac{1}{2^{j-1}}(d-c)=0.$ Poniewa偶 $ c_{j}\leq a_{n_{j}}\leq d_{j}$ dla ka偶dej liczby naturalnej $ j $, wi臋c na mocy twierdzenia o trzech ci膮gach - ci膮g $ (a_{n_{j}})$ te偶 ma t膮 sam膮 granic臋. Je艣li ci膮g $ (a_{n}) $ jest nieograniczony z g贸ry to mo偶na z niego wybra膰 podci膮g 艣ci艣le rosn膮cy: niech $n_{1}=1; $ poniewa偶 ci膮g jest nieograniczony z g贸ry wi臋c w艣r贸d wyraz贸w nast臋puj膮cych po $ a_{n_{1}}$ s膮 wi臋ksze od $a_{n_{1}};$ niech $n_{2}$ b臋dzie numerem jednego z nich - mamy wi臋c $ n_{2}> n_{1},\ \ a_{n_{2}}> a_{n_{1}};$ poniewa偶 ci膮g jest nieograniczony z g贸ry, wi臋c w艣r贸d wyraz贸w, kt贸re nast臋puj膮 po $a_{n_{2}}$, jest wyraz wi臋kszy ni偶 $ a_{n_{2}}$ wybierzmy jeden z nich i przyjmijmy, 偶e $ n_{3}$ jest jego numerem, mamy wi臋c $ n_{3}> n_{2}$ oraz $a_{n_{3}}> a_{n_{2}},$ proces ten mo偶emy kontynuowa膰 dalej. Analogicznie post臋pujemy w przypadku ci膮gu nieograniczonego z do艂u, z tym, 偶e teraz wybieramy podci膮g 艣ci艣le malej膮cy. c.b.d.o. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-12-01 21:42:40 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj