logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3918

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2015-12-01 16:31:33

Czy każdy ciąg ograniczony ma monotoniczny podciąg zbieżny? Ps Z gory dzieki za pomoc.


Magda
postów: 120
2015-12-01 16:44:12

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa mówi, że każdy ciąg ograniczony posiada podciąg zbieżny. Nie mówi ono nic o monotoniczności tego podciągu. Weźmy dowolny taki podciąg zbieżny i oznacznmy go a.

Jednak wiemy, że każdy podciąg ciągu zbieżnego też jest zbieżny i że każdy ciąg rzeczywisty posiada podciąg monotoniczny, zatem a też posiada podciąg monotoczny i jest on zbieżny.


brightnesss
postów: 113
2015-12-01 17:37:36

A jak udowodnić ze kazdy ciag rzeczywisty posiada podciag monotoniczny?


tumor
postów: 8085
2015-12-01 21:26:58

Możemy założyć, że ciąg taki nie posiada podciągu malejącego ani stałego (bo jeśli je posiada, to oczywiście ma podciąg monotoniczny). Pozostaje pokazać, że wówczas ma podciąg rosnący.

Istnieje $a_{n_0}$ takie, że dla $k>n_0$ istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu $a_n$ spełniających $a_k>a_{n_0}$.
Gdyby bowiem nie była to prawda, to dla każdego $a_k$ nieskończenie wiele (dokładniej: wszystkie poza skończoną ilością) późniejszych wyrazów byłoby mniejszych od $a_{n_0}$ lub równych, ale to oznacza istnienie podciągu malejącego lub stałego.
Zatem $b_1=a_{n_0}$.
Ograniczmy się teraz do wyrazów ciągu $a_n$, które są większe niż $a_{n_0}$ i mają indeksy większe niż $n_0$.
Stosujemy dla nich to samo rozumowanie, istnieje wśród nich $a_{p}$, od którego jest większych nieskończenie wiele dalszych wyrazów. Zatem $b_2 =a_p$.
Kontynuując ten krok otrzymujemy podciąg rosnący.

Pokazaliśmy zatem, że jeśli w ciągu nie istnieją podciągi malejące lub stałe, to musi istnieć rosnący.

Dotyczy to w szczególności ciągów ograniczonych, które się pod tym względem nie różnią.

Jeśli mamy podciąg monotoniczny i ograniczony (jak wszystkie podciągi ciągu ograniczonego), to kres ograniczeń (np kres dolny zbioru ograniczeń górnych dla podciągu rosnącego) spełnia definicję granicy ciągu. Stąd wniosek, że każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg (monotoniczny) zbieżny.


janusz78
postów: 820
2015-12-01 21:33:19

Posłużymy się następującą konstrukcją dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa - metodą połowienia (bisekcji) przedziału.

Niech $ c, d$ będą takimi liczbami rzeczywistymi, że nierówność
$ d \leq a_{n}\leq c $ zachodzi dla każdego $ n.$ Bez straty ogólności możemy przyjąć, że ciąg $(a_{n})$ nie zawiera podciągu stałego- jeśli zawiera, to ten podciąg jest zbieżny.
Niech $ n_{1}= 1,\ \ c_{1}=c, \ \ d_{1}=d.$ Jedna z połówek przedziału $ [c, d] $ (lub obie) zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ (a_{n}).$ Niech $ [c_{2}, d_{2}]$ będzie tą właśnie połówką. Jeśli np. w przedziale $ [c, \frac{c+d}{2}] $ jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ (a_{n})$ to przyjmujemy $ c_{2}=c_{1}=c, \ \ d_{2}= \frac{c+d}{2},$ jeśli w w przedziale $ [c, \frac{c+d}{2}] $ jest skończenie wiele wyrazów ciągu $ a_{n}, $ to w przedziale $ [\frac{c+d}{2}, d]$ musi ich być nieskończenie wiele. W tym przypadku przyjmujemy $ c_{2}= \frac{c+d}{2},\ \ d_{2}= d_{1}= d$ i niech $ n_{2} > n_{1}$ będzie takim numerem, że $ a_{n_{2}}\in [c_{2}, d_{2}].$
Powtarzamy przeprowadzone rozumowanie do przedziału $[c_{2}, d_{2}]$ i wyrazów ciągu następujących po $ a_{n_{2}}.$
Dla $ j= 1,2,...$ mamy wobec tego $ c_{j}\leq a_{n_{j}}\leq d_{j}$ i $ d_{j}-c_{j} = \frac{d-c}{2^{j}}$ oraz $ c_{1}\leq c_{2}\leq c_{3}, \ \ d_{1}\geq d_{2}\geq d_{3}.$
Kontynuując to postępowanie otrzymujemy niemalejący ciąg $(c_{j}) $ oraz nierosnący ciąg $ (d_{j}), $ przy czym $ d_{j}- c_{j}= \frac{d-c}{2^{j}}.$
Ciągi te mają granice, gdyż są monotoniczne. Granice te są równe, bo $\lim_{j\to \infty}(d_{j} - c_{j}) = \lim_{j\to \infty}\frac{1}{2^{j-1}}(d-c)=0.$
Ponieważ $ c_{j}\leq a_{n_{j}}\leq d_{j}$ dla każdej liczby naturalnej $ j $, więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach - ciąg $ (a_{n_{j}})$ też ma tą samą granicę.

Jeśli ciąg $ (a_{n}) $ jest nieograniczony z góry to można z niego wybrać podciąg ściśle rosnący: niech $n_{1}=1; $ ponieważ ciąg jest nieograniczony z góry więc wśród wyrazów następujących po $ a_{n_{1}}$ są większe od $a_{n_{1}};$ niech $n_{2}$ będzie numerem jednego z nich - mamy więc $ n_{2}> n_{1},\ \ a_{n_{2}}> a_{n_{1}};$ ponieważ ciąg jest nieograniczony z góry, więc wśród wyrazów, które następują po $a_{n_{2}}$, jest wyraz większy niż $ a_{n_{2}}$ wybierzmy jeden z nich i przyjmijmy, że $ n_{3}$ jest jego numerem, mamy więc $ n_{3}> n_{2}$ oraz $a_{n_{3}}> a_{n_{2}},$ proces ten możemy kontynuować dalej.
Analogicznie postępujemy w przypadku ciągu nieograniczonego z dołu, z tym, że teraz wybieramy podciąg ściśle malejący.
c.b.d.o.


Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 21:42:40 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj