logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3921

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-12-02 11:48:39

a) $\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{arctg(\frac{1}{x})}}$

Nie wiem jak to zrobić, Wolfram pokazuje $\frac{1}{2}$


tumor
postów: 8085
2015-12-02 12:05:52

Już podpowiedziałem, jak wykonywałem ten przykład ja.

Widzimy, że wartości dla dodatnich x są nieujemne, zatem i granica, jeśli istnieje, jest nieujemna.

Jeśli podniesiemy wyrażenie do kwadratu, a wyjdzie nam granica tego kwadratu równa $\frac{1}{4}$, to znaczy, że poprzednie wyrażenie miało granicę $\frac{1}{2}$.
(Uwaga odnośnie ścisłości rozumowania: gdyby wyrażenie nie było nieujemne, to z istnienia granicy kwadratu nie moglibyśmy wnioskować o istnieniu granicy samej funkcji)

Natomiast po podniesieniu do kwadratu granica do policzenia nie jest trudna, choć nie jest też natychmiastowa. :)


-----

Można jednak skorzystać z pomocniczo policzonej granicy

$\lim_{x \to 0}\frac{x}{arctgx}$
co pozwala obliczyć
$\lim_{x \to 0+}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{arctgx}}$
oraz
$\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{arctg\frac{1}{x}}}$


student113
postów: 156
2015-12-02 12:19:57

Dobra, mam jeszcze takie pytanie które jest związane też z tym przykładem: początkowo jest coś takiego $[\frac{\infty - \infty}{0}]$ to skąd wiadomo że będzie $\frac{0}{0}$, przecież $\infty-\infty$ jest tez symbolem nieoznaczonym? Albo jeszcze jakbym miał $[\frac{0}{0}]^{\infty} $to co z tym trzeba zrobić?


tumor
postów: 8085
2015-12-02 12:42:38

Można policzyć przecież granicę
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=0$
stąd $\frac{0}{0}$

Jeśli będziesz mieć przykład $[\frac{0}{0}]^\infty$, to wygodnie może być najpierw policzyć granicę wyrażenia w nawiasie. Oddzielnie.


janusz78
postów: 820
2015-12-02 14:08:59

Proponuję podstawienie

$ \frac{1}{x}=t $

$\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{\frac{1}{t}+1}- \sqrt{\frac{1}{t}}}{\sqrt{\arctan(t)}}.$

Do licznika stosujemy tożsamość $ a- b = \frac{a^2-b^2}{a+b}.$

Otrzymujemy

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{(\sqrt{\frac{1}{t}+1}+\sqrt{\frac{1}{t}})\sqrt{\arctan(t)}}$ (1)

Z granicy $\lim_{t\to 0}\frac{arctan(t)}{t}= 1.$ wnioskujemy, że mianownik (1) dąży do liczby $ 2.$

Bez programów Sage czy Mathematica możemy sądzić, że wartość granicy jest równa $ \frac{1}{2}.$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 126 drukuj