Analiza matematyczna, zadanie nr 3921

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-12-02 11:48:39 a) $\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{arctg(\frac{1}{x})}}$ Nie wiem jak to zrobić, Wolfram pokazuje $\frac{1}{2}$

tumor postów: 8070	2015-12-02 12:05:52 Już podpowiedziałem, jak wykonywałem ten przykład ja. Widzimy, że wartości dla dodatnich x są nieujemne, zatem i granica, jeśli istnieje, jest nieujemna. Jeśli podniesiemy wyrażenie do kwadratu, a wyjdzie nam granica tego kwadratu równa $\frac{1}{4}$, to znaczy, że poprzednie wyrażenie miało granicę $\frac{1}{2}$. (Uwaga odnośnie ścisłości rozumowania: gdyby wyrażenie nie było nieujemne, to z istnienia granicy kwadratu nie moglibyśmy wnioskować o istnieniu granicy samej funkcji) Natomiast po podniesieniu do kwadratu granica do policzenia nie jest trudna, choć nie jest też natychmiastowa. :) ----- Można jednak skorzystać z pomocniczo policzonej granicy $\lim_{x \to 0}\frac{x}{arctgx}$ co pozwala obliczyć $\lim_{x \to 0+}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{arctgx}}$ oraz $\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{arctg\frac{1}{x}}}$

student113 postów: 156	2015-12-02 12:19:57 Dobra, mam jeszcze takie pytanie które jest związane też z tym przykładem: początkowo jest coś takiego $[\frac{\infty - \infty}{0}]$ to skąd wiadomo że będzie $\frac{0}{0}$, przecież $\infty-\infty$ jest tez symbolem nieoznaczonym? Albo jeszcze jakbym miał $[\frac{0}{0}]^{\infty} $to co z tym trzeba zrobić?

tumor postów: 8070	2015-12-02 12:42:38 Można policzyć przecież granicę $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=0$ stąd $\frac{0}{0}$ Jeśli będziesz mieć przykład $[\frac{0}{0}]^\infty$, to wygodnie może być najpierw policzyć granicę wyrażenia w nawiasie. Oddzielnie.

janusz78 postów: 820	2015-12-02 14:08:59 Proponuję podstawienie $ \frac{1}{x}=t $ $\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{\frac{1}{t}+1}- \sqrt{\frac{1}{t}}}{\sqrt{\arctan(t)}}.$ Do licznika stosujemy tożsamość $ a- b = \frac{a^2-b^2}{a+b}.$ Otrzymujemy $\lim_{t \to 0} \frac{1}{(\sqrt{\frac{1}{t}+1}+\sqrt{\frac{1}{t}})\sqrt{\arctan(t)}}$ (1) Z granicy $\lim_{t\to 0}\frac{arctan(t)}{t}= 1.$ wnioskujemy, że mianownik (1) dąży do liczby $ 2.$ Bez programów Sage czy Mathematica możemy sądzić, że wartość granicy jest równa $ \frac{1}{2}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj