Algebra, zadanie nr 3927
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
sialalam postów: 47 | 2015-12-03 00:19:04 Rozważamy funkcje $f_{1} f_{2} f_{3}:R \rightarrow R$ $f_{1}:= ( \cosh(x))^{2}$ $f_{2}:=\sinh(x))^{2}$ $f_{3}:= 1 , x\in R $ gdzie $\cosh(x) := \frac{1}{2}(e^{x} + e^{-x})$ i $\sinh(x) := \frac{1}{2}(e^{x} - e^{-x})$ dla $x\in R$ Sprawdź czy $(f_{1} , f_{2}) (f_{1} , f_{3}) (f_{2} , f_{3})$ są niezależne liniowo (dowód) Bardzo proszę o pomoc, musze przedstawić to zadanie na zajęciach a póki co nie za bardzo mam pojęcie jak zacząć. |
tumor postów: 8070 | 2015-12-03 08:29:45 To ciekawe, bo na wykładach się pokazuje, jak to robić, pokazuje się przykłady. Proponuję zakończyć już te gimnazjalne teksty nie wnoszące nic do zadania. Jesteśmy na studiach, otwiera się podręcznik i pracuje samodzielnie, bo o to chodzi w studiowaniu. Wektory są liniowo niezależne, gdy żaden z nich nie jest kombinacją dwóch pozostałych. Jeśli zatem szukalibyśmy rozwiązania układu $\left(\begin{matrix} f_1 \\ f_2 \end{matrix}\right)=\alpha \left(\begin{matrix} f_1 \\ f_3 \end{matrix}\right)+\beta \left(\begin{matrix} f_2 \\ f_3 \end{matrix}\right)$ to powinno nam wyjść, że takie rozwiązanie nie istnieje. Alternatywnie możemy sprawdzić, czy ma rozwiązanie niezerowe układ $\gamma \left(\begin{matrix} f_1 \\ f_2 \end{matrix}\right)+\alpha \left(\begin{matrix} f_1 \\ f_3 \end{matrix}\right)+\beta \left(\begin{matrix} f_2 \\ f_3 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) $ Wektory są liniowo niezależne wtw takie niezerowe rozwiązanie nie istnieje. Rozwiązywanie układów równań liniowych było w gimnazjum, zatem sądzę, że umiesz. To jak, czy pierwszy układ ma jakiekolwiek rozwiązanie? Albo: czy drugi układ ma rozwiązanie inne niż $\alpha=\beta=\gamma=0$? |
janusz78 postów: 820 | 2015-12-03 13:53:53 Liniową niezależność funkcji badamy zwykle w przestrzeni funkcji. 1) $(f_{1}, f_{2}):$ $ det \left[ \begin{matrix}cos^2h(x)& \sin^2h(x)\\2\cosh(x)\sinh(x)&2\sinh(x)\cosh(x)\end{matrix}\right]= sinh(2x)\neq 0, \ \ x\in R\setminus \left\{0\right\}.$ Funkcje $ f_{1}, f_{2}$ są liniowo niezależne w zbiorze liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby zero. 2) $(f_{1}, f_{3}):$ $ det \left[ \begin{matrix}cos^2h(x)& 1\\2\cosh(x)\sinh(x)&0\end{matrix}\right]= -sinh(2x)\neq 0, \ \ x \in R\setminus \left\{0 \right\}.$ Funkcje $ f_{1}, f_{3}$ są liniowo niezależne w zbiorze liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby zero. c) Układ funkcji $ (f_{2}, f_{3})$ badamy podobnie jak w b). |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj