logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 3927

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2015-12-03 00:19:04

Rozważamy funkcje $f_{1} f_{2} f_{3}:R \rightarrow R$

$f_{1}:= ( \cosh(x))^{2}$ $f_{2}:=\sinh(x))^{2}$ $f_{3}:= 1 , x\in R $

gdzie $\cosh(x) := \frac{1}{2}(e^{x} + e^{-x})$ i $\sinh(x) := \frac{1}{2}(e^{x} - e^{-x})$ dla $x\in R$

Sprawdź czy $(f_{1} , f_{2}) (f_{1} , f_{3}) (f_{2} , f_{3})$ są niezależne liniowo (dowód)

Bardzo proszę o pomoc, musze przedstawić to zadanie na zajęciach a póki co nie za bardzo mam pojęcie jak zacząć.


tumor
postów: 8085
2015-12-03 08:29:45

To ciekawe, bo na wykładach się pokazuje, jak to robić, pokazuje się przykłady. Proponuję zakończyć już te gimnazjalne teksty nie wnoszące nic do zadania. Jesteśmy na studiach, otwiera się podręcznik i pracuje samodzielnie, bo o to chodzi w studiowaniu.

Wektory są liniowo niezależne, gdy żaden z nich nie jest kombinacją dwóch pozostałych.

Jeśli zatem szukalibyśmy rozwiązania układu
$\left(\begin{matrix} f_1 \\ f_2 \end{matrix}\right)=\alpha \left(\begin{matrix} f_1 \\ f_3 \end{matrix}\right)+\beta \left(\begin{matrix} f_2 \\ f_3 \end{matrix}\right)$
to powinno nam wyjść, że takie rozwiązanie nie istnieje.

Alternatywnie możemy sprawdzić, czy ma rozwiązanie niezerowe układ
$\gamma \left(\begin{matrix} f_1 \\ f_2 \end{matrix}\right)+\alpha \left(\begin{matrix} f_1 \\ f_3 \end{matrix}\right)+\beta \left(\begin{matrix} f_2 \\ f_3 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right)
$
Wektory są liniowo niezależne wtw takie niezerowe rozwiązanie nie istnieje.

Rozwiązywanie układów równań liniowych było w gimnazjum, zatem sądzę, że umiesz. To jak, czy pierwszy układ ma jakiekolwiek rozwiązanie? Albo: czy drugi układ ma rozwiązanie inne niż $\alpha=\beta=\gamma=0$?


janusz78
postów: 820
2015-12-03 13:53:53

Liniową niezależność funkcji badamy zwykle w przestrzeni funkcji.

1)
$(f_{1}, f_{2}):$

$ det \left[ \begin{matrix}cos^2h(x)& \sin^2h(x)\\2\cosh(x)\sinh(x)&2\sinh(x)\cosh(x)\end{matrix}\right]= sinh(2x)\neq 0, \ \ x\in R\setminus \left\{0\right\}.$

Funkcje $ f_{1}, f_{2}$ są liniowo niezależne w zbiorze liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby zero.

2)

$(f_{1}, f_{3}):$

$ det \left[ \begin{matrix}cos^2h(x)& 1\\2\cosh(x)\sinh(x)&0\end{matrix}\right]= -sinh(2x)\neq 0, \ \ x \in R\setminus \left\{0 \right\}.$

Funkcje $ f_{1}, f_{3}$ są liniowo niezależne w zbiorze liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby zero.

c)

Układ funkcji $ (f_{2}, f_{3})$ badamy podobnie jak w b).


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 14 drukuj