logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 3928

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2015-12-03 00:29:00

Które z funkcji są liniowe ? (udowodnij)

$\phi : R\rightarrow R , x\rightarrow x^{2}$
$\phi : R^{3}\rightarrow R , (x_{1} x_{2} x_{3})^T \rightarrow x_{1} -5x_{2} + 100x_{3}$
$\phi : R^{2}\rightarrow R^{3}, (x_{1} x_{2})^T\rightarrow (x_{1},2 x_{2}+1, x_{1}+x_{2})^T $

Z góry dziękuję za pomoc
Coś słabo mi idzie lagebra liniowa a najłatwoej mi uczyć się na przykładach


tumor
postów: 8085
2015-12-03 08:15:58

Mamy tu pewien konflikt terminologiczny.

Funkcją liniową nazywa się to, co w liceum, to znaczy $f:R\to R$ daną wzorem $f(x)=ax+b$ dla pewnych a,b rzeczywistych. Oczywiście żadna z powyższych funkcji nie jest liniowa w tym sensie.

Mówimy o przekształceniu liniowym jako o przekształceniu addytywnym i jednorodnym.
Warunek jednorodności mówi
$\alpha*\phi(x_1,x_2,...,x_k)=\phi(\alpha x_1,\alpha x_2,...,\alpha x_k)$
i spełnia go tylko drugie z powyższych odwzorowań.

Warunek addytywności mówi
$\phi(x_1,x_2,...,x_k)+\phi(w_1,w_2,...,w_k)=\phi(x_1+w_1,x_2+w_2,...,x_k+w_k)$ i drugie z odwzorowań i ten warunek spełnia.


janusz78
postów: 820
2015-12-03 15:22:54


Funkcja określona wzorem

$\phi(x_{1},x_{2}, x_{3})= x_{1}- 5x_{2}+ 100x_{3}.$

jest funkcją liniową.

Z definicji funkcji liniowej (jako przekształcenia liniowego)

dla dowolnego $ \alpha, \beta, \gamma \in R, $

$\phi(\alpha x_{1}+ \beta x_{2}+ \gamma x_{3})= \alpha x_{1}-5\alpha x_{2}+ 100\alpha x_{3}+ \beta x_{1}- 5\beta x_{2}+ 100\beta x_{3}+ \gamma x_{1}- 5\gamma x_{2}+100 \gamma {x_{3}}= \alpha(x_{1}- 5x_{2}+ 100x_{3}) + \beta (x_{1} -5x_{2}+100x_{3})+ \gamma( x_{1}- 5x_{2}+100 x_{3}).$

Stąd

$\phi(\alpha x_{1}+ \beta x_{2}+ \gamma x_{3})= \alpha\phi(x_{1},x_{2},x_{3})+ \beta \phi(x_{1}, x_{2}, x_{3})+ \gamma \phi(x_{1}, x_{2}, x_{3}).$

Funkcja określona wzorem

$ \phi(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}- 5x_{2} + 100x_{3}$

jest funkcją liniową.

Uwaga:

Zgodnie z tą definicją (jak zauważył Tumor) - szkolna definicja funkcji liniowej określonej wzorem

$ y = ax + b $ (1)

nie jest zgodna z powyższą definicją funkcji liniowej (jako przekształcenia liniowego) bo np. nie zachowuje kombinacji liniowej punktów (wektorów) i punktu $ (0,0) $ (wektora zerowego).

Takie przekształcenia jak (1) nazywamy afinicznymi.

Takim afinicznym przekształceniem jest ostatnie z podanych przekształceń.





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 109 drukuj