Algebra, zadanie nr 3928

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sialalam postów: 47	2015-12-03 00:29:00 Które z funkcji są liniowe ? (udowodnij) $\phi : R\rightarrow R , x\rightarrow x^{2}$ $\phi : R^{3}\rightarrow R , (x_{1} x_{2} x_{3})^T \rightarrow x_{1} -5x_{2} + 100x_{3}$ $\phi : R^{2}\rightarrow R^{3}, (x_{1} x_{2})^T\rightarrow (x_{1},2 x_{2}+1, x_{1}+x_{2})^T $ Z góry dziękuję za pomoc Coś słabo mi idzie lagebra liniowa a najłatwoej mi uczyć się na przykładach

tumor postów: 8070	2015-12-03 08:15:58 Mamy tu pewien konflikt terminologiczny. Funkcją liniową nazywa się to, co w liceum, to znaczy $f:R\to R$ daną wzorem $f(x)=ax+b$ dla pewnych a,b rzeczywistych. Oczywiście żadna z powyższych funkcji nie jest liniowa w tym sensie. Mówimy o przekształceniu liniowym jako o przekształceniu addytywnym i jednorodnym. Warunek jednorodności mówi $\alpha*\phi(x_1,x_2,...,x_k)=\phi(\alpha x_1,\alpha x_2,...,\alpha x_k)$ i spełnia go tylko drugie z powyższych odwzorowań. Warunek addytywności mówi $\phi(x_1,x_2,...,x_k)+\phi(w_1,w_2,...,w_k)=\phi(x_1+w_1,x_2+w_2,...,x_k+w_k)$ i drugie z odwzorowań i ten warunek spełnia.

janusz78 postów: 820	2015-12-03 15:22:54 Funkcja określona wzorem $\phi(x_{1},x_{2}, x_{3})= x_{1}- 5x_{2}+ 100x_{3}.$ jest funkcją liniową. Z definicji funkcji liniowej (jako przekształcenia liniowego) dla dowolnego $ \alpha, \beta, \gamma \in R, $ $\phi(\alpha x_{1}+ \beta x_{2}+ \gamma x_{3})= \alpha x_{1}-5\alpha x_{2}+ 100\alpha x_{3}+ \beta x_{1}- 5\beta x_{2}+ 100\beta x_{3}+ \gamma x_{1}- 5\gamma x_{2}+100 \gamma {x_{3}}= \alpha(x_{1}- 5x_{2}+ 100x_{3}) + \beta (x_{1} -5x_{2}+100x_{3})+ \gamma( x_{1}- 5x_{2}+100 x_{3}).$ Stąd $\phi(\alpha x_{1}+ \beta x_{2}+ \gamma x_{3})= \alpha\phi(x_{1},x_{2},x_{3})+ \beta \phi(x_{1}, x_{2}, x_{3})+ \gamma \phi(x_{1}, x_{2}, x_{3}).$ Funkcja określona wzorem $ \phi(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}- 5x_{2} + 100x_{3}$ jest funkcją liniową. Uwaga: Zgodnie z tą definicją (jak zauważył Tumor) - szkolna definicja funkcji liniowej określonej wzorem $ y = ax + b $ (1) nie jest zgodna z powyższą definicją funkcji liniowej (jako przekształcenia liniowego) bo np. nie zachowuje kombinacji liniowej punktów (wektorów) i punktu $ (0,0) $ (wektora zerowego). Takie przekształcenia jak (1) nazywamy afinicznymi. Takim afinicznym przekształceniem jest ostatnie z podanych przekształceń.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj