logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3933

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

moonlighter11
postów: 48
2015-12-05 14:39:57

Proszę o sprawdzenie poprawności odpowiedzi następującego zadania:

Znajdź asymptoty następującej funkcji:
f(x)=x*$e^{\frac{1}{x}}$

Moje odpowiedzi:
1) x=0 jest równaniem asymptoty pionowej prawostronnej.
2) y=1x-1 jest równaniem asymptoty ukośnej przy x$\rightarrow$+-$\infty$


magda95
postów: 120
2015-12-05 15:09:52

1) chyba jest ok
2) moim zdaniem powinno być y=x+1


janusz78
postów: 820
2015-12-05 19:34:15

Zauważmy, ze dziedziną funkcji$ f $ jest zbiór
$ R\setminus \left\{0 \right\}.$

Liczymy więc cztery granice:

$ \lim_{x\to -\infty} f(x)= \lim_{x\to -\infty} xe^{\frac{1}{x}}=-\infty \cdot 1= -\infty.$



$\lim_{x\to 0-}f(x)= \lim_{x\to 0-} xe^{\frac{1}{x}}= 0\cdot 0 = 0.$

Prosta o równaniu $ y=0 $ (oś Ox) jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $ f.$

$\lim_{x\to 0+} f(x)= \lim_{x\to 0+} xe^{\frac{1}{x}}= \lim_{x\to 0+}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=H= \frac{-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}}= \lim_{x\to 0+}e^{\frac{1}{x}}= e^{\infty}= \infty.$

Prosta o równaniu $ x = 0 $ (oś Oy) jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji $ f.$


$ \lim_{x\to \infty} f(x)= \lim_{x\to \infty} xe^{\frac{1}{x}}=\infty\cdot 1 =\infty.$


Czy wykres funkcji ma asymptotę ukośną o równaniu
$y=ax + b?$

$ a = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \pm \infty}e^{\frac{1}{x}}= e^0=1.$

$ a = 1.$

$b = \lim_{x\to \pm \infty}( f(x)-x )= \lim_{x\to \pm \infty} (xe^{\frac{1}{x}}-x )= \lim_{x\to \pm \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{ e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}=H= \lim_{x\to \pm \infty} e^{\frac{1}{x}}= 1. $

$ b=1.$

Wykres funkcji $ f $ ma asymptotę ukośną (pochyłą) obustronną o równaniu $ y=x +1.$


Wiadomość była modyfikowana 2015-12-05 21:48:56 przez janusz78

tumor
postów: 8070
2015-12-05 19:51:28

A wyjaśnisz mi, janusz, czemu liczysz $x-f(x)$ zamiast $f(x)-x$, zmieniając zupełnie bez sensu wynik?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 40 drukuj