logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3934

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2015-12-05 19:50:37

Proszę o pomoc w takim zadaniu: Wykaż, że jeśli funkcja $ \mu : 2^{X} \longrightarrow [0,\infty] $ jest miarą na $2^{X}$, to jest również miarą zewnętrzną.



tumor
postów: 8070
2015-12-05 20:02:33

Skoro $\mu$ jest określona dla wszystkich podzbiorów, to wszystkie są mierzalne. To w zasadzie wystarczy. :)

Dowód bardziej formalny.
Mając dowolne $A_n\subset X$ dla $n\in N$
możemy stworzyć ciąg $B_n$ zbiorów rozłącznych
$B_1=A_1$,
$B_n=A_n\backslash (\bigcup_{i<n}B_i)$ dla $n>1$

Oczywiście $\mu(\bigcup A_n)=\mu (\bigcup B_n)=\sum \mu B_n\le \sum \mu A_n$

Inaczej rzecz ujmując mamy oczywiście
$\mu A=\inf(\mu(C):C\in2^x, A\subset C)$, wówczas $\mu$ jest miarą zewnętrzną wyznaczoną przez $\mu$, co jest dziwnym sformułowaniem, ale nie błędnym.




strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj