logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3951

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

moonlighter11
postów: 48
2015-12-06 13:58:40

Proszę o sprawdzenie czy wynik jest poprawny dla zadania:
Znajdź przedziały rosnące i malejące oraz ekstrema lokalne funkcji f(x)=x$e^{\frac{1}{x}}$

Moje rozwiązanie:
f(x) maleje w przedziale (-$\infty$;0) $\vee$ (0;1)
f(x) rośnie w przedziale (1; $+\infty$)

Ekstrema lokalne:
y max nie istnieje
y min = e


tumor
postów: 8070
2015-12-06 14:15:39

Nie wygląda całkiem dobrze.

Po pierwsze nie wydaje mi się, żeby była dobrze zrobiona monotoniczność (możesz napisać jaką masz pierwszą pochodną i dla jakich x jest ona dodatnia?)

Po drugie podając ekstrema podaje się też, dla jakich wartości x one są.


moonlighter11
postów: 48
2015-12-06 15:00:57

Pochodna z f(x) wyszła mi $e^{\frac{1}{x}}$ - $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$
Jest dodatnia dla x $\in$ (1;+$\infty$)


tumor
postów: 8070
2015-12-06 15:52:31

$e^{\frac{1}{x}}(1-\frac{1}{x})$
jest dodatnia także dla wszystkich x ujemnych, nie uważasz?


moonlighter11
postów: 48
2015-12-06 16:36:20

A czy pochodna jest prawidłowo wyliczona? Bo robiłem to wg pewnego schematu krok po kroku i nie wiem gdzie popełniłem błąd.


tumor
postów: 8070
2015-12-06 17:12:51

Pochodna jest ok.

$e^\frac{1}{x}+xe^\frac{1}{x}*\frac{-1}{x^2}$

czyli $e^\frac{1}{x}-\frac{e^\frac{1}{x}}{x}$
czyli $e^\frac{1}{x}(1-\frac{1}{x})$

$e^\frac{1}{x}$ jest zawsze dodatnie
wystarczy powiedzieć, dla jakich x jest dodatnie $(1-\frac{1}{x})$
Jest dodatnie dla $x\in (1,\infty)$, ale też dla $x\in (-\infty,0)$

Poza tym mówimy, że f ma minimum dla x=1 równe e (trzeba podać dla jakiego x)


moonlighter11
postów: 48
2015-12-07 18:04:14

A czy prawdą jest, że y max dla tej funkcji nie istnieje?


tumor
postów: 8070
2015-12-07 20:51:17

Tak. Funkcja ta nie ma maksimów lokalnych, nie jest też ograniczona, więc nie ma ekstremum globalnego.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 35 drukuj