logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 3961

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2015-12-09 15:53:52

Udowodnij, że przestrzeń topologiczna $(X, \tau)$ jest $T_{1}$ przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór jednoelementowy jest domknięty w tej przestrzeni. Proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2015-12-09 17:19:34

ustalmy dowolny $x\in X$. Dla każdego $y\in X$ różnego od x mamy $u\in U_y$ oraz $x\notin U_y$. Z definicji topologii $\bigcup_{y\neq x}U_y$ jest otwarty i równy $X\backslash \{x\}$, czyli $\{x\}$ domknięty.

W drugą stronę oczywistość, jeśli $\{x\}$ domknięty dla każdego $x\in X$, to $X\backslash \{x\}$ pełni rolę U w warunku $T_1$ dla każdego $y\neq x$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj