Topologia, zadanie nr 3966

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasiaiw postów: 50	2015-12-09 21:21:33 Wykaż że przestrzeń topologiczna $(X, \tau)$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedi i tylko wtedy, gdy przekątna $\bigtriangleup$ zbioru $X\times X$, tzn. zbioru $\{(x,y)\in X \times X: x=y\}$, jest zbiorem domkniętym w przestrzeni $X \times X$ (z topologią produktową). Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2016-06-22 13:14:08 Niech X jest Hausdorffa ($T_2$) Weźmy punkt (x,y) poza przekątną, czyli $x\neq y$, czyli istnieją otoczenia rozłączne U,V takie, że $x\in U, y\in V$. Zbiór $U\times V$ jest otwartym otoczeniem punktu (x,y) rozłącznym z przekątną. W drugą stronę, jeśli $x\neq y$ oraz punkt (x,y) ma otoczenie rozłączne z przekątną, to ma też otoczenie (również rozłączne z przekątną) w postaci zbioru bazowego w topologii produktowej, czyli w postaci $U\times V$. Wobec tego U, V są rozłącznymi otwartymi otoczeniami elementów x,y.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj