logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 3966

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2015-12-09 21:21:33

Wykaż że przestrzeń topologiczna $(X, \tau)$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedi i tylko wtedy, gdy przekątna $\bigtriangleup$ zbioru $X\times X$, tzn. zbioru $\{(x,y)\in X \times X: x=y\}$, jest zbiorem domkniętym w przestrzeni $X \times X$ (z topologią produktową). Proszę o pomoc.



tumor
postów: 8085
2016-06-22 13:14:08

Niech X jest Hausdorffa ($T_2$)
Weźmy punkt (x,y) poza przekątną, czyli $x\neq y$, czyli istnieją otoczenia rozłączne U,V takie, że $x\in U, y\in V$.
Zbiór $U\times V$ jest otwartym otoczeniem punktu (x,y) rozłącznym z przekątną.

W drugą stronę, jeśli $x\neq y$ oraz punkt (x,y) ma otoczenie rozłączne z przekątną, to ma też otoczenie (również rozłączne z przekątną) w postaci zbioru bazowego w topologii produktowej, czyli w postaci $U\times V$.
Wobec tego U, V są rozłącznymi otwartymi otoczeniami elementów x,y.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 39 drukuj