logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3968

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamwik96
postów: 50
2015-12-09 21:40:38

Sprawdzić, czy podany zbiór jest bazą odpowiedniej przestrzeni:
a) B = {(1+i, -2, -i), (2-i, 2, i), (-1+i, i, 2)} przestrzeni C^3(C)
b) B = {(2+i, 1-i), (i, 1+i), (-i-3, 2i+1), (3, -2i)} przestrzeni C^2(R)

Wiem, że należy sprawdzić liniową niezależność, ale nie wiem jak to wygląda w przypadku liczb zespolonych. Proszę o pomoc


tumor
postów: 8070
2015-12-09 21:48:07

Tak samo to wygląda w przypadku liczb zespolonych.

Policzy wyznaczniki

$\left[\begin{matrix} 1+i &-2&-i \\ 2-i&2&i \\ -1+i&i&2 \end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix} 2&1&1&-1 \\ 0&1&1&1 \\ -3&-1&1&2 \\ 3&0&0&-2 \end{matrix}\right]$


kamwik96
postów: 50
2015-12-09 21:49:24

Jeszcze nie miałem macierzy. Jak to inaczej można zapisać?



tumor
postów: 8070
2015-12-09 22:03:34

Aha.

Liniowa niezależność wektorów $\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_k}$ polega na tym, że żaden z nich nie jest kombinacją pozostałych. Bycie bazą przestrzeni V polega dodatkowo na tym, że każdy wektor $\vec{v} \in V$ daje się JEDNOZNACZNIE przedstawić jako kombinacja liniowa
$\vec{v}=\alpha_1 \vec{a_1}+...+\alpha_k \vec{a_k}$, gdzie $\alpha_i$ są skalarami.

W przypadku a) sprawdzamy, czy każdy wektor $(x,y,z)^T\in C^3$ daje się zapisać jednoznacznie jako kombinacja
$\alpha \left(\begin{matrix} 1+i \\ -2 \\ i \end{matrix}\right)+
\beta \left(\begin{matrix} 2-i \\ 2 \\ i \end{matrix}\right)+
\gamma \left(\begin{matrix} -1+i \\ i \\ 2 \end{matrix}\right)$ dla zespolonych $\alpha, \beta, \gamma$

W przypadku b) sprawdzamy rzecz podobną, czy każdy wektor $(a+bi,c+di)^T\in C^2$ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
$
\alpha \left(\begin{matrix} 2+i \\ 1-i \end{matrix}\right)+
\beta \left(\begin{matrix} i \\ 1+i \end{matrix}\right)+
\gamma \left(\begin{matrix} -3-i \\ 1+2i \end{matrix}\right)
+
\delta \left(\begin{matrix} 3\\ -2i \end{matrix}\right)$
dla rzeczywistych $\alpha, \beta, \gamma,\delta$

Jednoznaczne przedstawienie to tyle co istnienie DOKŁADNIE JEDNEGO rozwiązania takiego równania. Jeśli dla pewnych wektorów nie istnieje żadne rozwiązanie, to $a_1,...,a_k$ nie rozpinają przestrzeni, a jeśli więcej niż jedno rozwiązanie, to $a_1,...,a_k$ nie są liniowo niezależne. W obu przypadkach nie byłyby bazą.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 60 drukuj