logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 3971

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2015-12-10 21:47:59

Wykaż, że:
(a) iloczyn kartezjański dwóch $T_{1}$ przestrzeni jest $T_{1}$ przestrzenią,
(b) iloczyn kartezjański dwóch $T_{2}$ przestrzeni jest $T_{2}$ przestrzenią,
(c) każda przestrzeń Hausdorffa jest $T_{1}$ przestrzenią,
(d) każda przestrzeń regularna jest przestrzenią Hausdorffa,
(e) każda przestrzeń normalna jest regularna.
Bardzo proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2015-12-10 23:25:14

O pomoc. Prosisz o zrobienie tego od początku do końca, żeby spisać.

a) dla dowolnych $(x,y),(z,t)$ ma istnieć zbiór otwarty, do którego należy tylko pierwszy z tych punktów, ale wiemy, że istnieje U taki, że $x\in U, z\notin U$ oraz V taki, że $y\in V,t\notin V$, wobec czego szukanym zbiorem otwartym jest $U\times V$

b) analogicznie do a)
Jeśli teraz $x\in U, z\in V$, oraz $U,V$ otwarte rozłączne, $y\in U_y,t\in V_t$ oraz $U_y,V_t$ otwarte rozłączne, to $(x,y)\in U\times U_y, (z,t)\in V\times V_t$ oraz $U\times U_y$ i $V\times V_t$ otwarte rozłączne.


tumor
postów: 8070
2015-12-10 23:31:12

c) Od razu. Skoro x,y mają otoczenia rozłączne, to x ma otoczenie, do którego y nie należy. To w sumie zabawne, że można przepisać treść tak oczywistego zadania i go nie rozwiązać.

d) $x$ dowolny, $y\neq x$, wtedy $\{y\}$ domknięty, istnieją U,V otwarte rozłączne, że $x\in U$ oraz $y\in V$

e) $\{x\}, F$ rozłączne domknięte, istnieją zbiory U,V rozłączne otwarte takie, że $x\in U, F\subset V$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 49 drukuj