Topologia, zadanie nr 3971

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasiaiw postów: 50	2015-12-10 21:47:59 Wykaż, że: (a) iloczyn kartezjański dwóch $T_{1}$ przestrzeni jest $T_{1}$ przestrzenią, (b) iloczyn kartezjański dwóch $T_{2}$ przestrzeni jest $T_{2}$ przestrzenią, (c) każda przestrzeń Hausdorffa jest $T_{1}$ przestrzenią, (d) każda przestrzeń regularna jest przestrzenią Hausdorffa, (e) każda przestrzeń normalna jest regularna. Bardzo proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2015-12-10 23:25:14 O pomoc. Prosisz o zrobienie tego od początku do końca, żeby spisać. a) dla dowolnych $(x,y),(z,t)$ ma istnieć zbiór otwarty, do którego należy tylko pierwszy z tych punktów, ale wiemy, że istnieje U taki, że $x\in U, z\notin U$ oraz V taki, że $y\in V,t\notin V$, wobec czego szukanym zbiorem otwartym jest $U\times V$ b) analogicznie do a) Jeśli teraz $x\in U, z\in V$, oraz $U,V$ otwarte rozłączne, $y\in U_y,t\in V_t$ oraz $U_y,V_t$ otwarte rozłączne, to $(x,y)\in U\times U_y, (z,t)\in V\times V_t$ oraz $U\times U_y$ i $V\times V_t$ otwarte rozłączne.

tumor postów: 8070	2015-12-10 23:31:12 c) Od razu. Skoro x,y mają otoczenia rozłączne, to x ma otoczenie, do którego y nie należy. To w sumie zabawne, że można przepisać treść tak oczywistego zadania i go nie rozwiązać. d) $x$ dowolny, $y\neq x$, wtedy $\{y\}$ domknięty, istnieją U,V otwarte rozłączne, że $x\in U$ oraz $y\in V$ e) $\{x\}, F$ rozłączne domknięte, istnieją zbiory U,V rozłączne otwarte takie, że $x\in U, F\subset V$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj