logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3981

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamwik96
postów: 50
2015-12-12 18:02:44

Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni V = lin{$3x^2 - x - 2, x^2 + 2x + 1, 2x^2 - 7x - 5, 3x^2 + 2x + 1$}, a następnie podać współrzędne wektora w(x) = $x^2 - 2x - 1$ w wyznaczonej bazie.

Proszę o pomoc i wytłumaczenie krok po kroku, bo przestrzeni wektorowych wgl nie rozumiem, a będę miał z tego kolokwium.
PS. Nie miałem jeszcze macierzy.


tumor
postów: 8070
2015-12-13 11:44:44

Najwygodniej tak:
Od czwartego wektora odjąć drugi. Wynikiem jest $2x^2$, czyli $x^2 \in V$

Odejmijmy $x^2$ od naszych wektorów tyle razy, żeby powstało:
$-x-2$
$2x+1$
$-7x-5$
$2x+1$
Dodając pięć razy do trzeciego wektora wektor czwarty, otrzymamy
3x, czyli także $x\in V$
Odejmując dwa razy x od wektora czwartego otrzymamy 1, czyli $1 \in V$.

Wektory $1,x,x^2$ są niezależne w V, bo nie można otrzymać żadnego z nich jako kombinacji liniowej pozostałych.
Wektory te rozpinają V, ponieważ każdy wektor z V daje się zapisać jako kombinacja liniowa tych trzech. Zatem są one bazą.
w tej bazie wektor $x^2-2x-1$ ma współrzędne $(-1,-2,1)$.
wymiar przestrzeni to ilość wektorów w bazie, czyli 3

Można było wybrać z podanych czterech wektorów trzy, które są liniowo niezależne i je przyjąć za bazę, ale w zadaniu polecenie dawało wolną wolę co do sposobu szukania bazy, więc zrobiłem prościej.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 46 drukuj