logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3983

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

szmajhel96
postów: 57
2015-12-13 10:23:21

Czuje sie bezradny. Potrzebuje pomoc w obliczeniu granicy za pomocą tw.Hospitala. Ale przypadek jest dziwny i nie wiem jak sie do niego zabrac:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}(x-\frac{\pi}{2})^{cosx}$=

Ma ktoś pomysł lub mogłby podsunac jakas wskazowke ?


magda95
postów: 120
2015-12-13 11:14:52

Pewnie ktoś ma pomysł, ale najpierw powiedz jaki to jest dokładnie przykład? Ten plus pomiędzy $\frac{\pi}{2}$, a nawiasem jest przez pomyłkę?


tumor
postów: 8070
2015-12-13 11:27:03

Oj Magdo, to granica prawostronna, a nie jakaś pomyłka.

zamienić na

$e^{cosx*ln(x-\frac{\pi}{2})}$

z kolei tę granicę z wykładnika można liczyć z de l'Hospitala,

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+}\frac{ln(x-\frac{\pi}{2})}{\frac{1}{cosx}}=[\frac{\infty}{\infty}]$


magda95
postów: 120
2015-12-13 11:41:59

Racja, mój błąd. Zbyt długa przerwa od analizy i człowiek zapomina podstawowe rzeczy :(

Ale w takim razie skoro z de l'Hospitala otrzymujemy $\frac{\infty}{\infty}$ to chyba jest coś nie tak? W sensie nadal nie wiemy nic o granicy.

Chyba że znów coś mi się pomyliło...


tumor
postów: 8070
2015-12-13 11:56:30

z de l'Hospitala tego nie otrzymujemy. Moje $\frac{\infty}{\infty}$ to tylko symbol pokazujący, że wolno tu regułę stosować (bo pytającego chyba to zgubiło, że przykładu do tej postaci nie umiał przekształcić)

po zastosowaniu reguły jest

(1) $\frac{\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}{\frac{sinx}{cos^2x}}=\frac{cosx}{x-\frac{\pi}{2}}*\frac{cosx}{sinx}$

przy tym
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+}\frac{cosx}{x-\frac{\pi}{2}}=-\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=-1$

czyli wyrażenie (1) ma granicę 0, czyli cała granica to $e^0=1$


----


dodajmy, że regułę de l'Hospitala można w jakimś przykładzie stosować wielokrotnie, jeśli pośrednie wyniki spełniają potrzebne założenia. Więc nawet jeśli po pierwszym zastosowaniu nie umielibyśmy podać granicy (ale by ona istniała), to możemy liczyć ją z reguły jeszcze raz. I jeszcze. :)

Wiadomość była modyfikowana 2015-12-14 09:05:00 przez tumor

szmajhel96
postów: 57
2015-12-13 13:24:25

A czego po przekształceniu na wykładnik w następnym kroku w mianowniku jest 1/cosx ? Jeszcze chciałbym o prosić o jakis prosty przykład ,żeby zrozumieć kroki jakie wykonałeś. a $e^{0}$ nie jest równe 1 ?


tumor
postów: 8070
2015-12-14 09:16:14

Dzielenie to mnożenie przez odwrotność, zatem dzielenie przez $\frac{1}{cosx}$ to to samo co mnożenie przez $cosx$

$e^0=1$, bardzo słusznie. :)

Ogólnie w zadaniach na metodę de l'Hospitala nie zawsze masz do czynienia z symbolem $\frac{0}{0}$ albo $\frac{\infty}{\infty}$
Ale różne inne symbole dają się do tej postaci przekształcić.

Jeśli mamy $f^g$, to jest to także $e^{g*ln(f)}$

Jeśli zatem masz symbol nieoznaczony $0^0$, to wykładnik $g*ln(f)$ będzie mieć symbol $0*\infty$, podobnie jeśli masz $1^\infty$ lub $\infty^0$

Jeśli masz już $f*g$ z symbolem $0*\infty$, to zamiast mnożyć dwie funkcje, dzielisz jedną przez odwrotność drugiej, czyli
$\frac{g}{f^{-1}}$ albo $\frac{f}{g^{-1}}$ co daje symbole $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$. Ten właśnie krok zastosowałem w zadaniu wyżej, a zamieniłem na odwrotność $cosx$, bo pochodna z tego wychodzi ładna. Pochodna z $\frac{1}{lnx}$ nie pomaga i raczej się jej unika.

Wreszcie jeśli miałeś na początku $\infty-\infty$, to robimy $f-g=\frac{\frac{1}{g}-\frac{1}{f}}{\frac{1}{fg}}$, co także da symbol $\frac{0}{0}$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 38 drukuj