logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3989

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

krystian1228
postów: 1
2015-12-14 22:42:24

Wykazać zbieżność ciągu (an) wykorzystując jego monotoniczność i ograniczoność, jeśli
a) an = 1/(e+1) + 1/(e^2 +2) + 1/(e^3 +3) +...+ 1/(e^n +n)
b) an= (\pi)^n/(n+1)!


magda95
postów: 120
2015-12-14 23:34:02

a)$a_{n} = \frac{1}{e+1} + \frac{1}{e^2+2} + \frac{1}{e^3+3} +...+ \frac{1}{e^n+n} $
$a_{n+1} = \frac{1}{e+1} + \frac{1}{e^2+2} + \frac{1}{e^3+3} +...+ \frac{1}{e^n+n} + \frac{1}{e^{(n+1)}+(n+1)} $

$a_{n+1} - a_{n} = \frac{1}{e^{(n+1)}+(n+1)} > 0 $
Zatem ciąg jest rosnący $\rightarrow$ monotoniczny

Do udowodnienia ograniczoności wykorzystamy ciąg $b_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ ... + \frac{1}{2^n}$

Jest on ograniczony przez 1 (łatwo sprawdzić)
Łatwo sprawdzić, że $a_{n} < b_{n} $ dla każdego $n$, bo $ \frac{1}{e^k+1} < \frac{1}{2^k} $


b) czy przykład to:
$\frac{\pi^n}{(n+1)!}$ ?
(jeśli nie - napisz przykład czytelnie)


tumor
postów: 8070
2015-12-15 08:02:11

b) też się w przykładzie domyślam
$\frac{\pi^n}{(n+1)!}$

Wówczas $a_{n+1}=a_n*\frac{\pi}{n+2}$
niech $n>1$, wtedy ciąg jest malejący, bo $\frac{\pi}{n+2}<1$

Wyrazy ciągu są dodatnie, ciąg maleje, czyli jest zbieżny.

Można jeszcze zauważyć, że dla $n>4$ jest
$a_{n+1}=a_n*\frac{\pi}{n+2}<a_n*\frac{1}{2}$ wobec czego możemy podać granicę ciągu, będzie to $0$.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 73 drukuj