Inne, zadanie nr 3989

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
krystian1228 postów: 1	2015-12-14 22:42:24 Wykazać zbieżność ciągu (an) wykorzystując jego monotoniczność i ograniczoność, jeśli a) an = 1/(e+1) + 1/(e^2 +2) + 1/(e^3 +3) +...+ 1/(e^n +n) b) an= (\pi)^n/(n+1)!

magda95 postów: 120	2015-12-14 23:34:02 a)$a_{n} = \frac{1}{e+1} + \frac{1}{e^2+2} + \frac{1}{e^3+3} +...+ \frac{1}{e^n+n} $ $a_{n+1} = \frac{1}{e+1} + \frac{1}{e^2+2} + \frac{1}{e^3+3} +...+ \frac{1}{e^n+n} + \frac{1}{e^{(n+1)}+(n+1)} $ $a_{n+1} - a_{n} = \frac{1}{e^{(n+1)}+(n+1)} > 0 $ Zatem ciąg jest rosnący $\rightarrow$ monotoniczny Do udowodnienia ograniczoności wykorzystamy ciąg $b_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ ... + \frac{1}{2^n}$ Jest on ograniczony przez 1 (łatwo sprawdzić) Łatwo sprawdzić, że $a_{n} < b_{n} $ dla każdego $n$, bo $ \frac{1}{e^k+1} < \frac{1}{2^k} $ b) czy przykład to: $\frac{\pi^n}{(n+1)!}$ ? (jeśli nie - napisz przykład czytelnie)

tumor postów: 8070	2015-12-15 08:02:11 b) też się w przykładzie domyślam $\frac{\pi^n}{(n+1)!}$ Wówczas $a_{n+1}=a_n\frac{\pi}{n+2}$ niech $n>1$, wtedy ciąg jest malejący, bo $\frac{\pi}{n+2}<1$ Wyrazy ciągu są dodatnie, ciąg maleje, czyli jest zbieżny. Można jeszcze zauważyć, że dla $n>4$ jest $a_{n+1}=a_n\frac{\pi}{n+2}<a_n*\frac{1}{2}$ wobec czego możemy podać granicę ciągu, będzie to $0$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj