Analiza matematyczna, zadanie nr 399

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tfc90 postów: 1	2012-03-27 22:21:16 mam prosbe czy moglby mi ktos pomoc.. mam do udowodnienia ze funkcji $f=\left\{\begin{matrix} exp(-(1/x^2)), gdy\quad x\neq0 \\ 0, gdy\quad x=0 \end{matrix}\right.$ nie mozna rozwinac w szereg Maclaurina

tumor postów: 8070	2012-09-10 15:11:09 Policzmy $(e^{-\frac{1}{x^2}})`=2x^{-3}e^{-\frac{1}{x^2}}$ Rozważmy pochodne $(Cx^{-n}e^{-\frac{1}{x^2}})`=-Cnx^{-n-1}e^{-\frac{1}{x^2}}+2Cx^{-n}x^{-3}e^{-\frac{1}{x^2}}$ Jak widać, są one różnicą wyrażeń tej samej postaci, przy czym wykładniki przy $x$ maleją. Pytamy o istnienie pochodnych w 0. Jeśli nie istnieją, to oczywiście szereg Maclaurina nie istnieje. Jeśli istnieją, tzn istnieje granica $\lim_{x \to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^k}$ dla $k>1$ naturalnego, to są równe 0 (wystarczy rozważyć ciąg $x_m=\frac{1}{2^m}$ przy m dążącym do nieskończoności). W takim przypadku rozwinięcie Maclaurina da zawsze wartość 0 (jako suma samych zer), a przecież funkcja f stała nie jest. Zatem nie musimy pokazywać, który przypadek zachodzi. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj