logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3990

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

moonlighter11
postów: 48
2015-12-15 09:25:31

Proszę o sprawdzenie poprawności.

Znajdź całkę z:
$\int_\frac{3e^{x}}{(2+e^{x})^{3}}dx$

Rozwiązanie:
$\int_\frac{3e^{x}}{(2+e^{x})^{3}}dx =$
$t=2+e^{x}$
$3dt=3e^{x}dx$

= $3ln|(2+e^{x})^{3}|$


tumor
postów: 8070
2015-12-15 11:49:57



$t=2+e^x$
$3dt=3e^x$ czyli całka to

$\int \frac{3dt}{t^3} dt=\frac{3t^{-2}}{-2}+c$
czyli
$\frac{3(2+e^x)^{-2}}{-2}+c$

logarytm jest całką z $\frac{1}{t}$, a takiego przykładu to nie masz.


moonlighter11
postów: 48
2015-12-15 12:02:26

Kompletnie nie rozumiem jak to się stało, że doszedłeś od całki do wyniku. Mógłbyś mi to wyjaśnić?


tumor
postów: 8070
2015-12-15 12:14:14

całki
$\int t^a dt$ rozwiązujemy na dwa sposoby
a) wynikiem jest $ln\mid t\mid +c$ TYLKO I WYŁĄCZNIE wtedy, gdy $a=-1$, bowiem
$(ln\mid t\mid )`=\frac{1}{t}$
b) dla $a\neq -1$ wynikiem jest
$\frac{t^{a+1}}{a+1}+c$, bowiem
$(\frac{t^{a+1}}{a+1})`=t^a$

Proste?
Całki są związane z pochodnymi.


$\frac{1}{t^3}=t^{-3}$

$\int 3*t^{-3}dt=3\int t^{-3}dt=3*\frac{t^{-2}}{-2}$ zgodnie z podpunktem b)


------

żeby się dało zastosować wzór z a), to licznik musi być POCHODNĄ mianownika (ale nie części mianownika).

Gdybyś miał przykład $\frac{e^x}{e^x+2}$ to wynikiem jest $ln\mid e^x+2\mid $, bo postępujemy zgodnie z a).
Ale jeśli masz $\frac{e^x}{(e^x+3)^3}$ to musimy użyć b)

---

Ponadto powtarzam. WEŹ POCHODNĄ Z WYNIKU i sprawdź, czy działa.

Czy Twoim zdaniem pochodna z $3ln\mid (e^x+2)^3 \mid$ jest równa $\frac{3e^x}{2+e^x}$?


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 60 drukuj