logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3991

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwonkaczapie9
postów: 40
2015-12-15 09:45:18

Proszę o pomoc : Czy złożenie dwóch funkcji borelowskich (mierzalnych) jest funkcją borelowską (mierzalną)?


tumor
postów: 8070
2015-12-15 12:05:28

Złożenie borelowskich jest borelowską.

Jeśli weźmiemy X,Y,Z z odpowiednimi $\sigma$-ciałami zbiorów borelowskich, to skoro przeciwobraz zbioru borelowskiego jest borelowski poprzez $f:X\to Y$ oraz poprzez $g:Y\to Z$, to również poprzez ich złożenie $g\circ f:X\to Z$.

W ogólności, jeśli $(X,\mathcal{N_1},\mu_1),(Y,\mathcal{N_2},\mu_2),(Z,\mathcal{N_3},\mu_3)$ są przestrzeniami z miarą, a funkcje $f:X\to Y, g:Y\to Z$ są mierzalne (odpowiednio w sensie $\sigma$-ciał $\mathcal{N_1}/\mathcal{N_2}$ oraz $\mathcal{N_2}/\mathcal{N_3}$), to ich złożenie będzie mierzalne (w sensie $\mathcal{N_1}/\mathcal{N_3}$).

Jeśli jednak nie precyzujemy $\sigma$-ciał, to może się zdarzyć, że wybierzemy dwie funkcje $f,g$ mierzalne (np. w dziedzinie w sensie Lebesgue'a, w przeciwdziedzinie rozpatrując zbiory borelowskie), że złożenie $g\circ f$ nie będzie mierzalne (gdyż przeciwobraz poprzez g któregoś zbioru borelowskiego będzie mierzalny w sensie Lebesgue'a, ale nie będzie zbiorem borelowskim, a z kolei przeciwobraz tego przeciwobrazu poprzez f może już w ogóle nie być mierzalny w sensie Lebesgue'a).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj