logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3994

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2015-12-15 12:11:40

Dla $\alpha\in C $ obowiązuje

$A_{\alpha} = \begin {matrix} 1 & 1 & \alpha \\0 & 1-\alpha & 0 \\\alpha & \alpha & 1 \\ \end {matrix} $

a) Dla jakich $\alpha\in C A_{\alpha}$ jest odwracalna?
b) Określ dla tego $\alpha$ odwrotność tej macierzy
c) Określ jej jądro i rząd dla $A_{-1} i A_{2}$


tumor
postów: 8070
2015-12-15 12:30:10

a) gdy ma niezerowy wyznacznik. Dla jakich a ma niezerowy?

b) metodą operacji elementarnych wyjdzie

$\left[\begin{matrix} \frac{1}{1-a^2} & \frac{-1}{1-a} &\frac{-a}{1-a^2}\\ 0&\frac{1}{1-a}&0 \\
\frac{-a}{1-a^2} &0& \frac{1}{1-a^2} \end{matrix}\right]$


c) dla a=2 rząd musi być 3, a jądrem (0,0,0)

dla a=-1 rząd jest 2 (sprawdzamy na przykład minorem stopnia 2 w lewym górnym rogu)
Jądrem jest zbiór rozwiązań równania

$A_2(x,y,z)^T=(0,0,0)^T$, zakładam, że umiesz rozwiązywać układy równań na poziomie LO.


sialalam
postów: 47
2015-12-15 19:05:31

A więc w a) oczywiście $\alpha \neq 1 $ aby wyznacznik był różny od 0
b) już mam problem aby uzyskać ten sam wynik dla macierzy odwrotnej.... gdy wyliczam $det A_{\alpha}$ to wychodzi mi $1-\alpha - \alpha^{2} - \alpha ^{3} $ i chyba tutaj tkwi mój błąd.


tumor
postów: 8070
2015-12-15 21:20:42

a) a co dla a=-1? Nie pomijaj takich kwestii.

b) wyliczam macierz odwrotną metodą operacji elementarnych na wierszach.

Zapisuję

$\left[\begin{matrix} 1&1&a&1&0&0 \\0&1-a&0&0&1&0 \\ a&a&1&0&0&1 \end{matrix}\right]$
i wykonuję takie operacje na wierszach, by pierwsze trzy kolumny dały macierz jednostkową, wówczas ostatnie trzy kolumny dają macierz odwrotną do A

poza tym moim zdaniem $detA=(1-a)(1-a^2)$, co po wymnożeniu nie daje Twojego wyniku. Jeśli chcesz użyć metody dopełnień algebraicznych, sugeruję trzymać wyznacznik w postaci iloczynu nawiasów, łatwiej się przez niego dzieli (i skraca).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 59 drukuj