logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4000

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-12-15 15:26:47

Napisać wzory na szereg Taylora z resztą Lagrange'a dla podanych funkcji:

Wiem jak się liczy poszczególne wyrazy szeregu, nurtuje mnie jedna kwestia, jak wyznacza się przedział do którego należy c, pokażę przykład

a)$ f(x)=\frac{1}{x}, x_0=2, n=3;$
Szereg wygląda następująco:
$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{8}(x-2)^2+R_3(x)$, gdzie $R_3(x)=-\frac{(x-2)^3}{c^4}$, c jest liczbą zawartą między 2 i x

b) $f(x)=\sqrt[5]{1+x}, x_0=-2, n=3$
$\sqrt[5]{1+x}=-1+\frac{1}{5}(x+2)+\frac{2}{25}(x+2)^2+R_3(x)$,gdzie $R_3(x)=\frac{6}{125}(1+c)^{-\frac{14}{5}}(x+2)^3$ przy czym $c\in(-2,x)$

c) $f(x)=e^{cosx}, x_0=\frac{\pi}{2}, n=2$
$e^{cosx}=1-(x-\frac{\pi}{2})R_2(x)$, gdzie $R_2(x)=\frac{sin^2c-cosc}{2}e^{cosc}(x-\frac{\pi}{2})^2$, przy czym $c\in(ln2,x) $gdy x>ln2 lub $c\in(x,ln2)$, gdy x< ln2


student113
postów: 156
2015-12-15 15:30:40

Na przykład w pierwszym czego x nie może być mniejsze od 2, wtedy c było by liczbą zawartą pomiędzy x i 2, albo w b) dlaczego c nie może być mniejsze od -2?


tumor
postów: 8070
2015-12-15 17:02:07

może być mniejsze i będzie zawarte w takich przedziałach jak mówisz.

Na przykład dla funkcji $\frac{1}{x}$ to, co jest po "lewej" stronie od $x_0$ jest tym samym, co dla funkcji $\frac{-1}{x}$ byłoby po "prawej" stronie od punktu $-x_0$. Wystarczy wziąć symetryczną funkcję, a prawa strona zamienia się z lewą. Dlatego nie ma jakiegoś przymusu, by zawsze $x>x_0$.

Oczywiście, z drugiej strony patrząc, wystarczy rozważać same prawe strony, bo jak ktoś chce lewą, to wystarczy przez symetrię :P

Czy na wykładach zawsze braliście $x>x_0$? Bo to nie jest konieczne.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 53 drukuj