Analiza matematyczna, zadanie nr 4002
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
student113 postów: 156 | 2015-12-15 17:28:01 Znajdź wszystkie ekstrema lokalne funkcji Mam taką rozwiązaną funkcję trygonometryczną i nie rozumie rozwiązania. a) $f(x)=sinx+\frac{sin2x}{2}$ Pochodna: $f(x)=cosx+cos2x$ $cosx+cos2x=0$ $2cos\frac{x+2x}{2}cos\frac{x-2x}{2}=0$ $2cos(\frac{3}{2}x)cos(\frac{-1}{2}x)=0$ $cos(\frac{3}{2}x) =0 $ lub $cos(\frac{-1}{2}x)=0$ Teraz w odpowiedziach podane jest $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$, !$x=\frac{5\pi}{3}$! Wiem skąd biorą się dwa pierwsze rozwiązania, ale nie wiem skąd to $x=\frac{5\pi}{3}$. Później oczywiście badana jest druga pochodna i $\pi$ odpada. Jeszcze jedno, jak to jest z tymi wyższymi pochodnymi w przypadku badania ekstremum i punktów przegięcia? |
student113 postów: 156 | 2015-12-15 18:39:46 Proszę o pomoc, bo naprawdę nie wiem jak to się bada te funkcje trygonometryczne. Tamto zadanie pozostaje aktualne. Jeszcze jedno: Zbadaj punkty przegięcie a)$f(x)=\frac{1}{1-x^2}$ druga pochodna wychodzi mi coś takiego: $\frac{2(1-x^2)^2+8x^2(1-x^2)}{(1-x^2)^4}$ Nie wiem czy dobrze, bo jak przyrównuję do zera to wychodzi sprzeczne, a w odpowiedziach są przedziały $(-1,1)$ i $(-\infty,-1)\cup (1,\infty)$ bo -1 i 1 jest wyrzucone z dziedziny, dlatego nie ma punktów przegięcia |
tumor postów: 8070 | 2015-12-15 21:02:59 $cos\frac{3}{2}x=0$ $\frac{3}{2}x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ $x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}$ $cos\frac{x}{2}=0$ dla $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi$ $x=\pi+2k\pi$ A że funkcja jest okresowa o okresie $2\pi$, to wystarczy wypisać i sprawdzić okres $[0,2\pi)$, w którym miejscami zerowymi pochodnej są $\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{3}=\pi, \frac{5\pi}{3}$ Z pochodnymi jest tak: Jeśli w jakimś punkcie $x_0$ istnieje n+1 pochodnych, z tego n pochodnych się zeruje w $x_0$, natomiast ostatnia jest różna od zera, to: a) jeśli n jest nieparzyste, a pochodna n+1 w punkcie $x_0$ jest dodatnia, to mamy minimum b) jeśli n nieparzyste, a pochodna n+1 w $x_0$ jest ujemna, to maksimum c) jeśli n jest parzyste, to ekstremum nie ma. Dla przykładu a) $x^4$ b) $-x^6$ c) $x^5$ |
tumor postów: 8070 | 2015-12-15 21:15:31 Co do drugiego zadania, druga pochodna rzeczywiście nigdy nie jest równa 0 (jeśli ją dobrze liczysz), ale nie musi być. To oznacza tylko brak punktów przegięcia. Natomiast dziedzina samej funkcji to $R\backslash\{-1,1\}$, punkty -1 i 1 dzielą zatem dziedzinę na przedziały. I należy sprawdzić, jaki jest znak drugiej pochodnej w przedziałach $(-\infty,-1)$, $(-1,1)$ oraz $(1,\infty)$ i zależnie od tego znaku opisać wypukłość, wklęsłość. |
student113 postów: 156 | 2015-12-15 22:28:20 Jak sprawdzić jaki jest znak drugiej pochodnej w przedziałach? |
student113 postów: 156 | 2015-12-15 22:32:20 Jeszcze mam do zbadania wypukłości, funkcje sin x i tg x, jak to zrobić. Ja po prostu narysowałem sobie wykres funkcji i z niego odczytałem gdzie się punkty i przedziały, oczywiście pamiętając że to funkcje okresowe. Ale czy da się to jakoś wyliczyć, bo nie wiem czy mi uzna na egzaminie takie coś. |
student113 postów: 156 | 2015-12-15 22:33:52 Jeszcze jedno czy jest podobna zasada pochodnych wyższych rzędów dotycząca badania wypukłości? |
tumor postów: 8070 | 2015-12-15 23:45:49 1. No powiedzieć, czy w przedziale jest dodatnia czy ujemna. Naocznie 2. Wypukłość drugą pochodną. Np. $sinx$ $f`=cosx$ $f``=-sinx$ zeruje się w $k\pi$, w $(2k\pi,2k\pi+\pi)$ druga pochodna ujemna, czyli sinx wklęsła, w $(2k\pi-\pi,2k\pi)$ druga pochodna dodatnia, czyli sinx wypukła. 3. W sumie nie wiem. :) Możesz to zbadać. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj