logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4002

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-12-15 17:28:01

Znajdź wszystkie ekstrema lokalne funkcji
Mam taką rozwiązaną funkcję trygonometryczną i nie rozumie rozwiązania.
a) $f(x)=sinx+\frac{sin2x}{2}$

Pochodna: $f(x)=cosx+cos2x$

$cosx+cos2x=0$
$2cos\frac{x+2x}{2}cos\frac{x-2x}{2}=0$
$2cos(\frac{3}{2}x)cos(\frac{-1}{2}x)=0$
$cos(\frac{3}{2}x) =0 $ lub $cos(\frac{-1}{2}x)=0$

Teraz w odpowiedziach podane jest $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$, !$x=\frac{5\pi}{3}$! Wiem skąd biorą się dwa pierwsze rozwiązania, ale nie wiem skąd to $x=\frac{5\pi}{3}$.

Później oczywiście badana jest druga pochodna i $\pi$ odpada.
Jeszcze jedno, jak to jest z tymi wyższymi pochodnymi w przypadku badania ekstremum i punktów przegięcia?


student113
postów: 156
2015-12-15 18:39:46

Proszę o pomoc, bo naprawdę nie wiem jak to się bada te funkcje trygonometryczne.
Tamto zadanie pozostaje aktualne.
Jeszcze jedno:

Zbadaj punkty przegięcie

a)$f(x)=\frac{1}{1-x^2}$

druga pochodna wychodzi mi coś takiego: $\frac{2(1-x^2)^2+8x^2(1-x^2)}{(1-x^2)^4}$

Nie wiem czy dobrze, bo jak przyrównuję do zera to wychodzi sprzeczne, a w odpowiedziach są przedziały $(-1,1)$ i $(-\infty,-1)\cup (1,\infty)$ bo -1 i 1 jest wyrzucone z dziedziny, dlatego nie ma punktów przegięcia


tumor
postów: 8070
2015-12-15 21:02:59

$cos\frac{3}{2}x=0$
$\frac{3}{2}x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}$

$cos\frac{x}{2}=0$ dla
$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi$
$x=\pi+2k\pi$

A że funkcja jest okresowa o okresie $2\pi$, to wystarczy wypisać i sprawdzić okres $[0,2\pi)$, w którym miejscami zerowymi pochodnej są

$\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{3}=\pi, \frac{5\pi}{3}$

Z pochodnymi jest tak:

Jeśli w jakimś punkcie $x_0$ istnieje n+1 pochodnych, z tego n pochodnych się zeruje w $x_0$, natomiast ostatnia jest różna od zera, to:
a) jeśli n jest nieparzyste, a pochodna n+1 w punkcie $x_0$ jest dodatnia, to mamy minimum
b) jeśli n nieparzyste, a pochodna n+1 w $x_0$ jest ujemna, to maksimum
c) jeśli n jest parzyste, to ekstremum nie ma.

Dla przykładu
a) $x^4$
b) $-x^6$
c) $x^5$



tumor
postów: 8070
2015-12-15 21:15:31

Co do drugiego zadania, druga pochodna rzeczywiście nigdy nie jest równa 0 (jeśli ją dobrze liczysz), ale nie musi być. To oznacza tylko brak punktów przegięcia.

Natomiast dziedzina samej funkcji to $R\backslash\{-1,1\}$, punkty -1 i 1 dzielą zatem dziedzinę na przedziały.
I należy sprawdzić, jaki jest znak drugiej pochodnej w przedziałach $(-\infty,-1)$, $(-1,1)$ oraz $(1,\infty)$ i zależnie od tego znaku opisać wypukłość, wklęsłość.



student113
postów: 156
2015-12-15 22:28:20

Jak sprawdzić jaki jest znak drugiej pochodnej w przedziałach?


student113
postów: 156
2015-12-15 22:32:20

Jeszcze mam do zbadania wypukłości, funkcje sin x i tg x, jak to zrobić. Ja po prostu narysowałem sobie wykres funkcji i z niego odczytałem gdzie się punkty i przedziały, oczywiście pamiętając że to funkcje okresowe. Ale czy da się to jakoś wyliczyć, bo nie wiem czy mi uzna na egzaminie takie coś.


student113
postów: 156
2015-12-15 22:33:52

Jeszcze jedno czy jest podobna zasada pochodnych wyższych rzędów dotycząca badania wypukłości?


tumor
postów: 8070
2015-12-15 23:45:49

1. No powiedzieć, czy w przedziale jest dodatnia czy ujemna. Naocznie

2. Wypukłość drugą pochodną.
Np.

$sinx$
$f`=cosx$
$f``=-sinx$
zeruje się w $k\pi$, w $(2k\pi,2k\pi+\pi)$ druga pochodna ujemna, czyli sinx wklęsła, w $(2k\pi-\pi,2k\pi)$ druga pochodna dodatnia, czyli sinx wypukła.

3. W sumie nie wiem. :) Możesz to zbadać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj