logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 4003

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ola22ola
postów: 4
2015-12-15 18:24:08

Proszę o pomoc. Wykazać, że płaszczyzna z metryką rzeka jest przestrzenią zupełną.


janusz78
postów: 820
2015-12-15 21:50:40



Niech $ (x_{n})= (x_{1n}, x_{2n})$ będzie dowolnym ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni $ X $ z metryką rzeka.

Załóżmy najpierw, że ciąg $ (x_{2n})$ ma podciąg stały. Niech to będzie ciąg $ (x_{2n_{k}}).$

Istnieje wtedy liczba rzeczywista $ x_{2}$ taka, że $x_{2n_{k}} = x_{2}.$ Wtedy $ d(x_{n_{k}}, x_{n_{l}})= |x_{1_{n_{k}}}- x_{1_{n_{l}}}|,$ a to dowodzi, że ciąg $ (x_{1_{n_{k}}}) $ spełnia warunek Cauchy'ego w przestrzeni liczb rzeczywistych z naturalną metryką. Ponieważ ta przestrzeń jest zupełna, więc istnieje liczba rzeczywista $ x_{1} $ taka, że $ x_{1_{n_{k}}} \rightarrow x_{1}.$ Razem z równością $x_{2_{n_{k}}} = x_{2} $ dowodzi to zbieżność $ x_{n_{k}}\rightarrow x $, gdzie $ x = (x_{1},\ \ x_{2})$

Z twierdzenia, " każdy ciąg, który spełnia warunek Cauchy'ego i posiada podciąg zbieżny, jest zbieżny", wynika, że $ x_{n}\rightarrow x $ (1)

Załóżmy teraz, że ciąg $ (x_{2n})$ nie ma żadnego podciągu stałego.Istnieje wtedy podciąg różnowartościowy.Przyjmijmy, że jest nim podciąg $(x_{2_{n_{k}}}).$

Wtedy $ d(x_{n_{m}}, x_{n_{k}}) = |x_{1_{n_{m}}}|+|x_{1_{n_{k}}}|+|x_{2_{n_{m}}} -x_{2_{n_{k}}}|$, zatem z warunku Cauchy'ego wynika zbieżność ( w przestrzeni R z metryką naturalną) ciągu $ ( |x_{1_{n_{k}}}|) $ do zera i spełnienie warunku Cauchy'ego dla ciągu $ (x_{2_{n_{k}}}).$

Jest on więc zbieżny do pewnego punktu $ x_{2}\in R.$

W ten sposób udowodniliśmy, że ciąg $(x_{n_{k}}) $jest zbieżny do punktu $ (0,\ \ x_{2}).$ Na mocy podanego wyżej twierdzenia (1) wynika, że również ciąg $(x_{n}) $ jest zbieżny do punktu $ x= (x_{1}, x_{2}). $

W każdym przypadku rozważany ciąg jest zbieżny, zatem rozpatrywana przestrzeń dwuwymiarowa (płaszczyzna) jest zupełna.

c.b.d.o.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 69 drukuj