Topologia, zadanie nr 4003

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ola22ola postów: 4	2015-12-15 18:24:08 Proszę o pomoc. Wykazać, że płaszczyzna z metryką rzeka jest przestrzenią zupełną.

janusz78 postów: 820	2015-12-15 21:50:40 Niech $ (x_{n})= (x_{1n}, x_{2n})$ będzie dowolnym ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni $ X $ z metryką rzeka. Załóżmy najpierw, że ciąg $ (x_{2n})$ ma podciąg stały. Niech to będzie ciąg $ (x_{2n_{k}}).$ Istnieje wtedy liczba rzeczywista $ x_{2}$ taka, że $x_{2n_{k}} = x_{2}.$ Wtedy $ d(x_{n_{k}}, x_{n_{l}})= \|x_{1_{n_{k}}}- x_{1_{n_{l}}}\|,$ a to dowodzi, że ciąg $ (x_{1_{n_{k}}}) $ spełnia warunek Cauchy'ego w przestrzeni liczb rzeczywistych z naturalną metryką. Ponieważ ta przestrzeń jest zupełna, więc istnieje liczba rzeczywista $ x_{1} $ taka, że $ x_{1_{n_{k}}} \rightarrow x_{1}.$ Razem z równością $x_{2_{n_{k}}} = x_{2} $ dowodzi to zbieżność $ x_{n_{k}}\rightarrow x $, gdzie $ x = (x_{1},\ \ x_{2})$ Z twierdzenia, " każdy ciąg, który spełnia warunek Cauchy'ego i posiada podciąg zbieżny, jest zbieżny", wynika, że $ x_{n}\rightarrow x $ (1) Załóżmy teraz, że ciąg $ (x_{2n})$ nie ma żadnego podciągu stałego.Istnieje wtedy podciąg różnowartościowy.Przyjmijmy, że jest nim podciąg $(x_{2_{n_{k}}}).$ Wtedy $ d(x_{n_{m}}, x_{n_{k}}) = \|x_{1_{n_{m}}}\|+\|x_{1_{n_{k}}}\|+\|x_{2_{n_{m}}} -x_{2_{n_{k}}}\|$, zatem z warunku Cauchy'ego wynika zbieżność ( w przestrzeni R z metryką naturalną) ciągu $ ( \|x_{1_{n_{k}}}\|) $ do zera i spełnienie warunku Cauchy'ego dla ciągu $ (x_{2_{n_{k}}}).$ Jest on więc zbieżny do pewnego punktu $ x_{2}\in R.$ W ten sposób udowodniliśmy, że ciąg $(x_{n_{k}}) $jest zbieżny do punktu $ (0,\ \ x_{2}).$ Na mocy podanego wyżej twierdzenia (1) wynika, że również ciąg $(x_{n}) $ jest zbieżny do punktu $ x= (x_{1}, x_{2}). $ W każdym przypadku rozważany ciąg jest zbieżny, zatem rozpatrywana przestrzeń dwuwymiarowa (płaszczyzna) jest zupełna. c.b.d.o.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj