logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4004

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-12-15 22:50:42

Optymalizacja
Pewną substancję przechowuje się w kopcach w kształcie stożka. Jaki powinien być kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy, aby powierzchnia parowania tej substancji (tj. powierzchnia boczna stożka) była najmniejsza?

Nie wiem jak się do tego zabrać, znam wzór na powierzchnię boczną Pb=\pi*r*l, próbowałem wyznaczyć l z trójkąta Pitagorasa, kombinowałem też coś z wzorem na objętość, ale nie mogą jakoś dojść do powiązania, żeby wyszedł kąt. Proszę o wskazówkę co z czym.


tumor
postów: 8070
2015-12-16 00:01:54

Wydaje mi się, że rozsądnym założeniem jest uznanie, że stożek ma zadaną objętość V, bo oczywiście jeśli miałby zadane pole podstawy, to im mniejszy kąt nachylenia tym lepiej. :)

Zauważ, że $cos\alpha=\frac{r}{l}$, $sin\alpha=\frac{h}{l}$, no i oczywiście $V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi l^3cos^2\alpha sin\alpha$

stąd $l=\sqrt[3]{(\frac{3V}{\pi cos^2\alpha sin\alpha})}$
$r=lcos\alpha$

zatem $\pi rl=\pi cos\alpha (\frac{3V}{\pi cos^2\alpha sin\alpha})^\frac{2}{3}$

Interesuje nas najmniejsza wartość tej funkcji, przy tym 2V i $\pi$ są nieujemnymi stałymi, można je wyciągnąć przed funkcję i będzie łatwiej liczyć pochodną. ;)

Poza tym nie chce mi się sprawdzać obliczeń i podstawień, a jestem śpiący.
Ogólnie jednak chodzi o to, żeby pole powierzchni bocznej wyrazić jako funkcja kąta $\alpha$ przy zadanej stałej V (żadnych niewiadomych r czy l).
Wówczas możemy szukać ekstremum.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj