logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4013

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

skrzycki
postów: 13
2015-12-17 11:16:36

Wykaż, że następujące warunki są równoważne definicji mierzalności funkcji:
$\forall A\in \mathcal{F_{\sigma}}(\mathbb{R}) \ \ f^{-1}(A) \in \mathfrak{M}$ $\iff$ $\forall A\in \mathcal{F_{\sigma \delta}}(\mathbb{R}) \ \ f^{-1}(A) \in \mathfrak{M}$
Proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2015-12-17 12:18:48

Ogólnie rzecz ujmując, warunkiem równoważnym mierzalności funkcji o wartościach w $\overline{R}$ jest dowolny z poniższych:

a) przeciwobrazy zbiorów $[-\infty,a]$ są mierzalne
b) przeciwobrazy zbiorów $[-\infty,a)$ są mierzalne
c) przeciwobrazy zbiorów $(a,\infty]$ są mierzalne
d) przeciwobrazy zbiorów $[a,\infty]$ są mierzalne

Równoważność tych czterech warunków pokazujemy udowadniając, że każdy rodzaj zbiorów za pomocą operacji nie wpływających na mierzalność pozwala uzyskać trzy pozostałe rodzaje.

Na przykład za pomocą pierwszego rodzaju:

$[-\infty,a)=\bigcup_{n\in N}[-\infty,a-\frac{1}{n}]$
$(a,\infty]=\overline{R}\backslash [-\infty,a]$
$[a,\infty]=\overline{R}\backslash \bigcup_{n\in N}[-\infty,a-\frac{1}{n}]$

Każdy zbiór borelowski daje się zapisać przy użyciu operacji nie wpływających na mierzalność wykonywanych na zbiorach dowolnego z czterech rodzajów. Wobec tego każdy z tych czterech warunków implikuje mierzalność, że mierzalność implikuje każdy z tych warunków to uznajemy za oczywiste bo sam Szatan z Piekła tego na pierwszy rzut oka przecież nie widzi.

No i teraz, jeśli f jest ciągła (to znaczy przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, wobec czego przeciwobrazy zbiorów domkniętych są domknięte), to przeciwobrazy zbiorów borelowskich są borelowskie, w związku z tym funkcje ciągłe są mierzalne (w sensie zbiorów borelowskich).

Ponadto, jeśli funkcja f jest o wartościach w R, to zauważmy, że po pierwsze każdy zbiór otwarty w R jest sumą przeliczalnie wielu przedziałów otwartych w R, a po drugie: każdy przedział otwarty jest sumą przeliczalnie wielu przedziałów domkniętych.
Wobec tego, jeśli przeciwobrazy poprzez f zbiorów domkniętych są mierzalne, to przeciwobrazy wszystkich zbiorów borelowskich są mierzalne. W drugą stronę implikacja znów jest jakoś Demonicznie Skomplikowana. Dodajmy, że $\sigma$-ciałem w dziedzinie nie musi tu być rodzina zbiorów borelowskich. Opieramy się tylko na własnościach zbiorów otwartych w przeciwdziedzinie i na własnościach przeciwobrazu.

I dalej. Zbiory $F_\sigma$ są przeliczalnymi sumami zbiorów domkniętych. Wobec tego jeśli przeciwobrazy domkniętych są mierzalne, to i przeciwobrazy zbiorów $F_\sigma$ są mierzalne, w drugą stronę implikacją zajmuje się sam Belzebub.

I dalej. Zbiory $F_{\sigma \delta}$ są przeliczalnymi przekrojami zbiorów $F_\sigma$. Jeśli zatem przeciwobrazy zbiorów $F_\sigma$ są mierzalne, to i przeciwobrazy zbiorów $F_{\sigma \delta}$ są mierzalne.

Analogicznie rozumujemy przy zbiorach postaci $G_\delta$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 65 drukuj