Analiza matematyczna, zadanie nr 4013
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
skrzycki post贸w: 13 |  2015-12-17 11:16:36Wyka偶, 偶e nast臋puj膮ce warunki s膮 r贸wnowa偶ne definicji mierzalno艣ci funkcji: $\forall A\in \mathcal{F_{\sigma}}(\mathbb{R}) \ \ f^{-1}(A) \in \mathfrak{M}$ $\iff$ $\forall A\in \mathcal{F_{\sigma \delta}}(\mathbb{R}) \ \ f^{-1}(A) \in \mathfrak{M}$ Prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-12-17 12:18:48 Og贸lnie rzecz ujmuj膮c, warunkiem r贸wnowa偶nym mierzalno艣ci funkcji o warto艣ciach w $\overline{R}$ jest dowolny z poni偶szych: a) przeciwobrazy zbior贸w $[-\infty,a]$ s膮 mierzalne b) przeciwobrazy zbior贸w $[-\infty,a)$ s膮 mierzalne c) przeciwobrazy zbior贸w $(a,\infty]$ s膮 mierzalne d) przeciwobrazy zbior贸w $[a,\infty]$ s膮 mierzalne R贸wnowa偶no艣膰 tych czterech warunk贸w pokazujemy udowadniaj膮c, 偶e ka偶dy rodzaj zbior贸w za pomoc膮 operacji nie wp艂ywaj膮cych na mierzalno艣膰 pozwala uzyska膰 trzy pozosta艂e rodzaje. Na przyk艂ad za pomoc膮 pierwszego rodzaju: $[-\infty,a)=\bigcup_{n\in N}[-\infty,a-\frac{1}{n}]$ $(a,\infty]=\overline{R}\backslash [-\infty,a]$ $[a,\infty]=\overline{R}\backslash \bigcup_{n\in N}[-\infty,a-\frac{1}{n}]$ Ka偶dy zbi贸r borelowski daje si臋 zapisa膰 przy u偶yciu operacji nie wp艂ywaj膮cych na mierzalno艣膰 wykonywanych na zbiorach dowolnego z czterech rodzaj贸w. Wobec tego ka偶dy z tych czterech warunk贸w implikuje mierzalno艣膰, 偶e mierzalno艣膰 implikuje ka偶dy z tych warunk贸w to uznajemy za oczywiste bo sam Szatan z Piek艂a tego na pierwszy rzut oka przecie偶 nie widzi. No i teraz, je艣li f jest ci膮g艂a (to znaczy przeciwobrazy zbior贸w otwartych s膮 otwarte, wobec czego przeciwobrazy zbior贸w domkni臋tych s膮 domkni臋te), to przeciwobrazy zbior贸w borelowskich s膮 borelowskie, w zwi膮zku z tym funkcje ci膮g艂e s膮 mierzalne (w sensie zbior贸w borelowskich). Ponadto, je艣li funkcja f jest o warto艣ciach w R, to zauwa偶my, 偶e po pierwsze ka偶dy zbi贸r otwarty w R jest sum膮 przeliczalnie wielu przedzia艂贸w otwartych w R, a po drugie: ka偶dy przedzia艂 otwarty jest sum膮 przeliczalnie wielu przedzia艂贸w domkni臋tych. Wobec tego, je艣li przeciwobrazy poprzez f zbior贸w domkni臋tych s膮 mierzalne, to przeciwobrazy wszystkich zbior贸w borelowskich s膮 mierzalne. W drug膮 stron臋 implikacja zn贸w jest jako艣 Demonicznie Skomplikowana. Dodajmy, 偶e $\sigma$-cia艂em w dziedzinie nie musi tu by膰 rodzina zbior贸w borelowskich. Opieramy si臋 tylko na w艂asno艣ciach zbior贸w otwartych w przeciwdziedzinie i na w艂asno艣ciach przeciwobrazu. I dalej. Zbiory $F_\sigma$ s膮 przeliczalnymi sumami zbior贸w domkni臋tych. Wobec tego je艣li przeciwobrazy domkni臋tych s膮 mierzalne, to i przeciwobrazy zbior贸w $F_\sigma$ s膮 mierzalne, w drug膮 stron臋 implikacj膮 zajmuje si臋 sam Belzebub. I dalej. Zbiory $F_{\sigma \delta}$ s膮 przeliczalnymi przekrojami zbior贸w $F_\sigma$. Je艣li zatem przeciwobrazy zbior贸w $F_\sigma$ s膮 mierzalne, to i przeciwobrazy zbior贸w $F_{\sigma \delta}$ s膮 mierzalne. Analogicznie rozumujemy przy zbiorach postaci $G_\delta$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj