logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4021

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamwik96
postów: 50
2015-12-18 22:06:26

Niech V = {$p \in \mathbb{R}[x]_{3}: p(1) = 2p(-1) \wedge p(3) = 3p(2)$} oraz W = lin{$x^3 - 2x^2 + x + 2, -x^3 +2x^2 + x, x^3 - 2x^2 + 2x + 3$}. Zbadać, czy V = W oraz wyznaczyć $V \cap W$. Odpowiedź uzasadnić!


janusz78
postów: 820
2015-12-20 14:45:38

Szukamy bazy przestrzeni $ V.$

Niech

$ p\in R_{3}[x]: \ \ p(x)=ax^3+bx^2 +cx +d.$

Z warunków:

$ p(1)= 2p(-1),\ \ p(3)= 3p(2),$

$ a+b+c+d = -2a +2b -2c +2d,$
$ 27a +9b +3c +d = 24a +12b+6c +3d.$

Stąd

$3a- b + 3c - d = 0,$
$ 3a -3b - 3c -2d =0.$

Rozwiązując, ten układ otrzymujemy

$\left[\begin{matrix} a\\ b\\ -\frac{1}{3}a-\frac{1}{9}b\\ 2a-\frac{4}{3}b \end{matrix}\right]= a\left [\begin{matrix} 1\\ 0 \\-\frac{1}{3}\\ 2 \end{matrix}\right ] + b\left[\begin{matrix}{c} 0 \\ 1 \\-\frac{1}{9} \\ -\frac{4}{3} \end{matrix}\right].$

Przestrzenie $V, W $ nie są równe bo, $dim V =2\neq dim W= 3.$

W celu wyznaczeniu części wspólnej przestrzeni $ V,\ \ W$ porównujemy kombinacje liniowe wektorów ich baz.

Wiadomość była modyfikowana 2015-12-20 15:15:41 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj