logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4024

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sabina006
postów: 6
2015-12-19 23:38:49

Cześć. Mam problem z trzema całkami krzywoliniowymi, które mam zrobić korzystając z twierdzenia Stokesa.
1) $\int_K (xydx+yzdy+xzdz)$ , gdzie K jest krzywą powstałą z przecięcia powierzchni $x^2+y^2=9$, $x+y+z=31$.

2) $\int_K (2ydx+5zdy+3xdz)$ , gdzie K jest krzywą powstałą z przecięcia powierzchni $2x^2+2y^2=1$, $x+y+z=3$.

3) $\int_K ((x^2+yz)dx+(y^2+xz)dy+(z^2-xy)dz)$ , gdzie K jest krzywą zamkniętą, zorientowaną dodatnio, składającą się z łuku AB określonego równaniami parametrycznymi $x=acost$, $y=asint$, $z=(\frac{1}{2\pi})t$ i odcinka BA, A=(a,0,0), B=(a,0,1).



janusz78
postów: 820
2015-12-20 22:07:58

Zadanie 1

Gabriel Stokes:

$\int_{K}\omega_{1}= \int_{S_{K}}d\omega.$

$\omega^{1} = xydx +yzdy+xzdz$

$\omega^2= d\omega = d(xydx +yzdy +xzdz)= (x+y)dxdz+(x-y)dydz$

Układ współrzędnych walcowych (cylindrycznych)

$\phi(\theta, z)= ( 3\cos(\theta), 3\sin(\theta), z),$

$ 0\leq \theta < 2\pi, \ \ 0 \leq z \leq 31- 3\cos(\theta)-3\sin(\theta).$

Cofnięcie (pullback) formy do powierzchni

$\phi)^{*}(\omega^2)(\theta, z) = [(cos(\theta)+\sin(\theta)3\sin(\theta)+(\cos(\theta)-\sin(\theta))3\cos(\theta)]dz \wedge d\theta = [3\sin(\theta)\cos(\theta)+3\sin^2(\theta)+3\cos^2(\theta)-3\sin(\theta)\cos(\theta)]dz \wedge d\theta = 3 dz\wedge d\theta.$

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{31- 3\cos(\theta)-3\sin(\theta)}3dz \wedge d\theta= 3\int_{0}^{2\pi}(31-3\cos(\theta)- 3\sin(\theta))d\theta = 186\pi.$


Wiadomość była modyfikowana 2015-12-21 09:47:33 przez janusz78

sabina006
postów: 6
2015-12-20 23:20:52

dzięki za odpowiedź, ale nie rozumiem o co chodzi z tym cofnięciem formy do powierzchni :(


janusz78
postów: 820
2015-12-21 09:49:42

Jest to zapisanie formy różniczkowej we współrzędnych walcowych.


janusz78
postów: 820
2015-12-26 00:31:37

Zadanie 2

-podobnie jak w zadaniu 1 - wprowadzamy układ współrzędnych walcowych (cylindrycznych)
$\phi(\theta, z) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\theta), \ \ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\theta), z \right).$

Zadanie 3

$\omega^{(1)}=(x^2+yz)dx +(y^2+xz)dy + (z^2-xy)dz.$ (1)

Różniczka zewnętrzna formy (1)

$ d\omega^{(1)} = \omega^{(2)}= d(x^2+yz)dx +d(y^2+xz)dy + d(z^2-xy)dz.$

$d\omega^{(1)}= (2xdx +zdy +ydz)\wedge dx + (2ydy+zdx+xdz)\wedge dy +( 2zdz -ydx -xdy)\wedge dz.$

$d\omega^{(1)}= 2xdx\wedge dx +zdy\wedge dx +ydz \wedge dx +2ydy\wedge dy +zdx\wedge dy +xdz \wedge dy +2zdz\wedge dz -ydx\wedge dz -xdy\wedge dz.$

$d\omega^{(1)} = xdz\wedge dy +ydz\wedge dx.$

Krzywa K składa się ze sparametryzowanej linii śrubowej i odcinka

$ \overline{BA}$ o parametryzacji

$\overline{BA}= B + t(A-B) = [a,0,1]+ t[0,0,1]= [a, 0, 1+t],\ \ t\in<0, 1>.$

Cofnięcie (pullback) formy $\omega^{(2)}$ do powierzchni $S_{K}$ ograniczonej krzywą $ K $

$\phi*(\omega^{(2)})(t) = \left\{a\cos(t)(a\cos(t),1/2 \pi)+ a\sin(t)(1/2 \pi, -a\sin(t))\right\}dt + \left\{[a[0,1]+0[1,0]\right\}dt.$


$\int_{(S_{K})}d\omega^{(1)}= a^2\int_{0}^{2\pi}\cos(2t)dt + \frac{1}{2\pi}a\int_{0}^{2\pi}[sin(t)+\cos(t)]dt + a\int_{0}^{1}dt = a .$



Wiadomość była modyfikowana 2015-12-26 11:34:19 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 60 drukuj