Topologia, zadanie nr 4032
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| ola22ola postów: 4 |  2015-12-28 17:29:53Proszę o pomoc. Udowodnić bezpośrednio, że w przestrzeni metryzowalnej w sposób zupełny prawdziwe jest twierdzenie Baire'a. |
| janusz78 postów: 820 | 2016-01-01 17:15:27 Niech $ X_{1}, X_{2}, X_{3}...$ będą otwartymi- gęstymi zbiorami w przestrzeni X. Niech $ W $ będzie zbiorem otwartym w $ X. $ Pokażemy, że dla $ \bigcap_{n} X_{n} $ istnieje punkt $ x $ w $ W $ jeśli $ W\neq \emptyset.$ Niech $\rho $ będzie metryką w $ X$ i $K(x,r)=\left\{y\in X: \rho(x,y)< r \right\}.$ Niech $ \overline{K}$ będzie domknięciem $K (x,r). $ Ponieważ $ X_{1}$ jest zbiorem gęstym oraz $ W \cap X_{1}$ jest niepustym zbiorem to możemy znaleźć $x_{1}, r_{1}$ takie, że $\overline{K(x_{1}, r_{1})}\subset W \cap X_{1}$ i $ 0< r_{1}< 1.$ ....................................................................... Jeśli $ n\geq 2 $, i wybraliśmy to $x_{n-1}, r_{n-1}$ to z gęstości zbioru $ X_{n}$ wynika, że $X_{n}\cap K(x_{n-1}, r_{n-1})$ jest niepustym zbiorem i znowu możemy znaleźć takie $ x_{n}, r_{n}$, że $\overline{K(x_{n}, y_{n})}\subset X_{n}\cap K(x_{n-1}, r_{n-1})$ i $ 0 < r_{n}< \frac{1}{n}.$ Z zasady indukcji wynika, że otrzymaliśmy ciąg $(x_{n})\in X$ Jeśli $ i, j > n$ to z konstrukcji ciągu wynika, że $ x_{i}, x_{j} \in K(x_{n}, r_{n})$ stąd $ \rho(x_{i}, x_{j})< 2r_{n}< \frac{2}{n}.$ - ciąg $ (x_{n})$ jest ciągiem Cauchy - przestrzeń $ X $jest zupełna i istnieje punkt $X\in x = \lim x_{n}$ Stąd wynika, że $x_{j}$ należy do zbioru domkniętego $ \overline{K(X_{n}, r_{n})}$ jeśli $ j> n.$ Zatem $ x $ leży w każdym $ \overline{K(X_{n}, r_{n})}$, a stąd $ x\in X_{n} \cap W.$ c.b.d.o. Wiadomość była modyfikowana 2016-01-01 19:38:35 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj