logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 4032

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ola22ola
postów: 4
2015-12-28 17:29:53

Proszę o pomoc. Udowodnić bezpośrednio, że w przestrzeni metryzowalnej w sposób zupełny prawdziwe jest twierdzenie Baire'a.


janusz78
postów: 820
2016-01-01 17:15:27

Niech $ X_{1}, X_{2}, X_{3}...$ będą otwartymi- gęstymi zbiorami w przestrzeni X. Niech $ W $ będzie zbiorem otwartym w $ X. $

Pokażemy, że dla $ \bigcap_{n} X_{n} $ istnieje punkt $ x $ w $ W $ jeśli $ W\neq \emptyset.$

Niech $\rho $ będzie metryką w $ X$ i $K(x,r)=\left\{y\in X: \rho(x,y)< r \right\}.$

Niech $ \overline{K}$ będzie domknięciem $K (x,r). $

Ponieważ $ X_{1}$ jest zbiorem gęstym oraz $ W \cap X_{1}$ jest niepustym zbiorem to możemy znaleźć $x_{1}, r_{1}$ takie, że $\overline{K(x_{1}, r_{1})}\subset W \cap X_{1}$ i $ 0< r_{1}< 1.$
.......................................................................
Jeśli $ n\geq 2 $, i wybraliśmy to $x_{n-1}, r_{n-1}$ to z gęstości zbioru $ X_{n}$ wynika, że
$X_{n}\cap K(x_{n-1}, r_{n-1})$ jest niepustym zbiorem i znowu możemy znaleźć takie $ x_{n}, r_{n}$, że $\overline{K(x_{n}, y_{n})}\subset X_{n}\cap K(x_{n-1}, r_{n-1})$ i $ 0 < r_{n}< \frac{1}{n}.$

Z zasady indukcji wynika, że otrzymaliśmy ciąg $(x_{n})\in X$

Jeśli $ i, j > n$ to z konstrukcji ciągu wynika, że $ x_{i}, x_{j} \in K(x_{n}, r_{n})$

stąd $ \rho(x_{i}, x_{j})< 2r_{n}< \frac{2}{n}.$ - ciąg

$ (x_{n})$ jest ciągiem Cauchy - przestrzeń $ X $jest zupełna i istnieje punkt $X\in x = \lim x_{n}$

Stąd wynika, że $x_{j}$ należy do zbioru domkniętego $ \overline{K(X_{n}, r_{n})}$ jeśli $ j> n.$
Zatem $ x $ leży w każdym $ \overline{K(X_{n}, r_{n})}$, a stąd $ x\in X_{n} \cap W.$

c.b.d.o.

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-01 19:38:35 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 52 drukuj