logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 4042

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ola22ola
postów: 4
2016-01-01 23:00:54

Jak udowodnić twierdzenie, że metryzowalność w sposób zupełny jest dziedziczna ze względu na podprzestrzenie typu G-delta?


janusz78
postów: 820
2016-01-02 17:31:25

To jest prawda dla przestrzeni zupełnych w sensie Ceha czyli ogólniej przestrzeni Baira.
Na podstawie twierdzenia Baira:
Niech para $ (X,\ \ \rho)$ będzie przestrzenią metryczną-zupełną-Baira.
Zbiór typu $G_{\delta}$ jest przecięciem przeliczalnej sumy zbiorów otwartych.
Załóżmy, że ciąg $ (G_{n}), \ \ n=1,2,3...$ jest ciągiem zborów otwartych i gęstych w przestrzeni $ X.$
Wtedy zbiory $ F_{n},\ \ n=1,2,3...$ określone równościami $ F_{n}= X\setminus G_{n}, \ \ n=1,2,3...$ są domknięte i brzegowe. Wnioskujemy stąd, że $\bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n}$jest zbiorem brzegowym.
Tak więc zbiór $ G = \bigcap_{n=1}^{\infty}(X\setminus F_{n})= X - \bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n}$ jest zbiorem gęstym, a więc zbiorem typu $G_{\delta}.$
c.b.d.o.


Wiadomość była modyfikowana 2016-01-02 17:50:43 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 64 drukuj