Topologia, zadanie nr 4042
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| ola22ola postów: 4 |  2016-01-01 23:00:54Jak udowodnić twierdzenie, że metryzowalność w sposób zupełny jest dziedziczna ze względu na podprzestrzenie typu G-delta? |
| janusz78 postów: 820 | 2016-01-02 17:31:25 To jest prawda dla przestrzeni zupełnych w sensie Ceha czyli ogólniej przestrzeni Baira. Na podstawie twierdzenia Baira: Niech para $ (X,\ \ \rho)$ będzie przestrzenią metryczną-zupełną-Baira. Zbiór typu $G_{\delta}$ jest przecięciem przeliczalnej sumy zbiorów otwartych. Załóżmy, że ciąg $ (G_{n}), \ \ n=1,2,3...$ jest ciągiem zborów otwartych i gęstych w przestrzeni $ X.$ Wtedy zbiory $ F_{n},\ \ n=1,2,3...$ określone równościami $ F_{n}= X\setminus G_{n}, \ \ n=1,2,3...$ są domknięte i brzegowe. Wnioskujemy stąd, że $\bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n}$jest zbiorem brzegowym. Tak więc zbiór $ G = \bigcap_{n=1}^{\infty}(X\setminus F_{n})= X - \bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n}$ jest zbiorem gęstym, a więc zbiorem typu $G_{\delta}.$ c.b.d.o. Wiadomość była modyfikowana 2016-01-02 17:50:43 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj