logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4044

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

domis567
postów: 25
2016-01-03 16:48:13

proszę o sporządzenie dowodu dla lematu: jeśli funkcja $f: R \rightarrow R $jest wypukła, to dla każdego $n \in N$ oraz $x_{1}....., x_{n} \in R$zachodzi nierówność$
f\left( \frac{ \sum_{i=1}^{ 2^{n} } x _{i} }{ 2^{n} }\right) \le \frac{ \sum_{i=1}^{ 2^{n} }f\left( x _{i} \right) }{ 2^{n} }$

proszę o dowód krok po kroku abym mogła zrozumieć jak to zrobić, dziękuję serdecznie


janusz78
postów: 820
2016-01-03 22:20:55

Indukcja względem $ n $

Dla $ n=1 $

$ f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \leq \frac{f(x_{1}+f(x_{2})}{2}$- nierówność prawdziwa z definicji funkcji wypukłej spełniającej nierówność Jensena

Krok indukcyjny:

$ f \left(\frac{\sum_{i=1}^{2^{n+1}} x_{i}}{2^{n+1}})\right) = f \left(\frac{\sum_{i=1}^{2^{n}}\frac{x_{2i-1}+ x_{2i}}{2}}{2^{n}}\right) \leq\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{n}}f \left(\frac{x_{2i-1}+x_{2i}}{2}\right) $
$ \leq \frac{1}{2^{n}}\sum_{i=1}^{2^{n}}\frac{f(x_{2i-1} +f(x_{2i})}{2}=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{i=1}^{2^{n+1}}f(x_{i}).$


Korzystając z założenia indukcyjnego pokazaliśmy prawdziwość tezy indukcyjnej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj