logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 4046

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

paulina_a
postów: 11
2016-01-04 01:27:58

Proszę o pomoc w zadaniu z granic funkcji (i o rozpisanie "łopatologiczne" :)
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}{x^{2}}
Mam zapisanie, że musi być użyty wzór a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} +ab +b^{2}
Ma wyjść \frac{1}{3}


paulina_a
postów: 11
2016-01-04 01:32:16

jeszcze raz:
$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}{x^{2}}$

wzór: $a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} +ab +b^{2})$
wynik:$\frac{1}{3} $


tumor
postów: 8070
2016-01-04 14:00:24

No i ok.
Traktujemy $\sqrt[3]{1+x^2}$ jako $a$ we wzorze skróconego mnożenia,
$1$ jako $b$ we wzorze. Zatem:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}=
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}*\frac{(\sqrt[3]{1+x^2})^2+1*(\sqrt[3]{1+x^2})+1^2}{(\sqrt[3]{1+x^2})^2+1*(\sqrt[3]{1+x^2})+1^2}=

\lim_{x \to 0}\frac{1+x^2-1}{x^2}*\frac{1}{(\sqrt[3]{1+x^2})^2+1*(\sqrt[3]{1+x^2})+1^2}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{{(\sqrt[3]{1+x^2})^2+1*(\sqrt[3]{1+x^2})+1^2}}$

Pierwsza równość jest oczywista, bo mnożymy wyrażenie przez 1 (tylko zapisane tak, by pasowało do wzoru). Druga to zastosowanie wzoru skróconego mnożenia w liczniku. Potem skracamy $x^2$.
A w ostatniej granicy wystarczy za x podstawić 0, bo nie dostajemy symbolu nieoznaczonego. Wynikiem jest $\frac{1}{3}$


paulina_a
postów: 11
2016-01-04 18:07:27

Mam jeszcze pytanie co do licznika- czemu pierwiastek z $1+x^{2}$ zniknął? I jak w kolejnej części wyszła jedynka?


tumor
postów: 8070
2016-01-04 18:45:12

napisałem!
Przeczytaj słowny opis kolejnych kroków, bo tam jest odpowiedź na Twoje pytania.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj