logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4048

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

chudek
postów: 39
2016-01-04 12:54:08

Witam,proszę o pomoc w zadaniu z książki: "Algebra abstrakcyjna w zadaniach",autor: Jerzy Rutkowski, zadanie 66.
Sprawdzić,czy dana para jest grupą(symbole " + " i $" \cdot "$ oznaczają tu zwykłe dodawanie i mnożenie liczb z danego zbioru)
o) $Q( \sqrt{5}, \cdot )$

Działanie w grupie musi spełniać 3 warunki:
-musi być łączne
-musi posiadać element neutralny
-dla każdego elementu zbioru musi istnieć element odwrotny

Odpowiedź na to zadanie brzmi: "Nie". Czyli ta para nie jest grupą. Dlaczego?
Z moich wyliczeń wynika,że wszystkie warunki są spełnione,czegoś prawdopodobnie nie dopatrzyłem. Czy mógłby ktoś jasno uzasadnić,dlaczego ta para nie jest grupą?


tumor
postów: 8070
2016-01-04 13:53:38

Nie ma elementu odwrotnego dla 0.


chudek
postów: 39
2016-01-04 14:10:21

Jak do tego dojść,kiedy, w jakim momencie powinienem to zauważyć? Z czego to powinno wynikać


tumor
postów: 8070
2016-01-04 14:16:58

A jak patrzysz do lodówki, czy jest ser, to jaką masz tajną metodę? Albo jest, albo nie.

Tutaj należy spojrzeć na elementy struktury algebraicznej i powiedzieć, czy w tej strukturze działanie $\cdot$ będzie łączne (będzie), czy będzie tam element neutralny w sensie tego działania (będzie, to liczba 1), a na końcu, czy wszystkie elementy mają swoje elementy odwrotne (nie wszystkie).

Następnie podajemy, który element nie ma odwrotnego.

Chciałbym tu zauważyć, że w matematyce pewne rzeczy są tak łatwe, że nie da się ich zrobić jeszcze łatwiej. Wobec tego się patrzy jak na ser w lodówce i widzi się.


chudek
postów: 39
2016-01-04 14:21:21

Zaczynam powoli rozumieć,ale mam jeszcze wątpliwości.
Dlaczego w przypadku dodawania,po prostu zamiast mnożenie działaniem jest zwykłe dodawanie, już taka para grupą jest?


tumor
postów: 8070
2016-01-04 14:33:12

Bo elementy odwrotne w sensie działania + to po prostu elementy przeciwne (od gimnazjum oznaczasz je poprzez pisanie minusa).

$Q(\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{5}:a,b\in Q\}$
Jeśli dodajesz trzy liczby tej postaci, to nawiasy są obojętne

$((a+b\sqrt{5})+(c+d\sqrt{5}))+(e+f\sqrt{5})=(a+b\sqrt{5})+((c+d\sqrt{5})+(e+f\sqrt{5}))$
co nazywamy łącznością.

Elementem neutralnym jest $0+0\sqrt{5}$, bo zawsze
$a+b\sqrt{5}+0+0\sqrt{5}=a+b\sqrt{5}$

No i element odwrotny (zwany tu przeciwnym) do $a+b\sqrt{5}$ to $-a-b\sqrt{5}$, bo po ich dodaniu dostajemy 0, czyli element neutralny.

Dla mnożenia elementem neutralnym jest 1, bo mnożenie przez 1 nic nie zmienia. Ale nie dla każdego $a+b\sqrt{5}$ znajdziemy element $c+d\sqrt{5}$ takie, że
$(a+b\sqrt{5})\cdot (c+d\sqrt{5})=1$. I to właśnie sprawia, że nie będzie to grupa.


(w powyższych obliczeniach $a,b,c,d,e,f$ oznacza liczby wymierne, nie chciało mi się pisać)



chudek
postów: 39
2016-01-04 14:41:28

Wielkie dzięki!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 49 drukuj