Algebra, zadanie nr 4048
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
chudek post贸w: 39 |  2016-01-04 12:54:08Witam,prosz臋 o pomoc w zadaniu z ksi膮偶ki: \"Algebra abstrakcyjna w zadaniach\",autor: Jerzy Rutkowski, zadanie 66. Sprawdzi膰,czy dana para jest grup膮(symbole \" + \" i $\" \cdot \"$ oznaczaj膮 tu zwyk艂e dodawanie i mno偶enie liczb z danego zbioru) o) $Q( \sqrt{5}, \cdot )$ Dzia艂anie w grupie musi spe艂nia膰 3 warunki: -musi by膰 艂膮czne -musi posiada膰 element neutralny -dla ka偶dego elementu zbioru musi istnie膰 element odwrotny Odpowied藕 na to zadanie brzmi: \"Nie\". Czyli ta para nie jest grup膮. Dlaczego? Z moich wylicze艅 wynika,偶e wszystkie warunki s膮 spe艂nione,czego艣 prawdopodobnie nie dopatrzy艂em. Czy m贸g艂by kto艣 jasno uzasadni膰,dlaczego ta para nie jest grup膮? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-04 13:53:38 Nie ma elementu odwrotnego dla 0. |
chudek post贸w: 39 | 2016-01-04 14:10:21 Jak do tego doj艣膰,kiedy, w jakim momencie powinienem to zauwa偶y膰? Z czego to powinno wynika膰 |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-04 14:16:58 A jak patrzysz do lod贸wki, czy jest ser, to jak膮 masz tajn膮 metod臋? Albo jest, albo nie. Tutaj nale偶y spojrze膰 na elementy struktury algebraicznej i powiedzie膰, czy w tej strukturze dzia艂anie $\cdot$ b臋dzie 艂膮czne (b臋dzie), czy b臋dzie tam element neutralny w sensie tego dzia艂ania (b臋dzie, to liczba 1), a na ko艅cu, czy wszystkie elementy maj膮 swoje elementy odwrotne (nie wszystkie). Nast臋pnie podajemy, kt贸ry element nie ma odwrotnego. Chcia艂bym tu zauwa偶y膰, 偶e w matematyce pewne rzeczy s膮 tak 艂atwe, 偶e nie da si臋 ich zrobi膰 jeszcze 艂atwiej. Wobec tego si臋 patrzy jak na ser w lod贸wce i widzi si臋. |
chudek post贸w: 39 | 2016-01-04 14:21:21 Zaczynam powoli rozumie膰,ale mam jeszcze w膮tpliwo艣ci. Dlaczego w przypadku dodawania,po prostu zamiast mno偶enie dzia艂aniem jest zwyk艂e dodawanie, ju偶 taka para grup膮 jest? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-04 14:33:12 Bo elementy odwrotne w sensie dzia艂ania + to po prostu elementy przeciwne (od gimnazjum oznaczasz je poprzez pisanie minusa). $Q(\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{5}:a,b\in Q\}$ Je艣li dodajesz trzy liczby tej postaci, to nawiasy s膮 oboj臋tne $((a+b\sqrt{5})+(c+d\sqrt{5}))+(e+f\sqrt{5})=(a+b\sqrt{5})+((c+d\sqrt{5})+(e+f\sqrt{5}))$ co nazywamy 艂膮czno艣ci膮. Elementem neutralnym jest $0+0\sqrt{5}$, bo zawsze $a+b\sqrt{5}+0+0\sqrt{5}=a+b\sqrt{5}$ No i element odwrotny (zwany tu przeciwnym) do $a+b\sqrt{5}$ to $-a-b\sqrt{5}$, bo po ich dodaniu dostajemy 0, czyli element neutralny. Dla mno偶enia elementem neutralnym jest 1, bo mno偶enie przez 1 nic nie zmienia. Ale nie dla ka偶dego $a+b\sqrt{5}$ znajdziemy element $c+d\sqrt{5}$ takie, 偶e $(a+b\sqrt{5})\cdot (c+d\sqrt{5})=1$. I to w艂a艣nie sprawia, 偶e nie b臋dzie to grupa. (w powy偶szych obliczeniach $a,b,c,d,e,f$ oznacza liczby wymierne, nie chcia艂o mi si臋 pisa膰) |
chudek post贸w: 39 | 2016-01-04 14:41:28 Wielkie dzi臋ki! |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj