Algebra, zadanie nr 4048

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
chudek postów: 39	2016-01-04 12:54:08 Witam,proszę o pomoc w zadaniu z książki: "Algebra abstrakcyjna w zadaniach",autor: Jerzy Rutkowski, zadanie 66. Sprawdzić,czy dana para jest grupą(symbole " + " i $" \cdot "$ oznaczają tu zwykłe dodawanie i mnożenie liczb z danego zbioru) o) $Q( \sqrt{5}, \cdot )$ Działanie w grupie musi spełniać 3 warunki: -musi być łączne -musi posiadać element neutralny -dla każdego elementu zbioru musi istnieć element odwrotny Odpowiedź na to zadanie brzmi: "Nie". Czyli ta para nie jest grupą. Dlaczego? Z moich wyliczeń wynika,że wszystkie warunki są spełnione,czegoś prawdopodobnie nie dopatrzyłem. Czy mógłby ktoś jasno uzasadnić,dlaczego ta para nie jest grupą?

tumor postów: 8070	2016-01-04 13:53:38 Nie ma elementu odwrotnego dla 0.

chudek postów: 39	2016-01-04 14:10:21 Jak do tego dojść,kiedy, w jakim momencie powinienem to zauważyć? Z czego to powinno wynikać

tumor postów: 8070	2016-01-04 14:16:58 A jak patrzysz do lodówki, czy jest ser, to jaką masz tajną metodę? Albo jest, albo nie. Tutaj należy spojrzeć na elementy struktury algebraicznej i powiedzieć, czy w tej strukturze działanie $\cdot$ będzie łączne (będzie), czy będzie tam element neutralny w sensie tego działania (będzie, to liczba 1), a na końcu, czy wszystkie elementy mają swoje elementy odwrotne (nie wszystkie). Następnie podajemy, który element nie ma odwrotnego. Chciałbym tu zauważyć, że w matematyce pewne rzeczy są tak łatwe, że nie da się ich zrobić jeszcze łatwiej. Wobec tego się patrzy jak na ser w lodówce i widzi się.

chudek postów: 39	2016-01-04 14:21:21 Zaczynam powoli rozumieć,ale mam jeszcze wątpliwości. Dlaczego w przypadku dodawania,po prostu zamiast mnożenie działaniem jest zwykłe dodawanie, już taka para grupą jest?

tumor postów: 8070	2016-01-04 14:33:12 Bo elementy odwrotne w sensie działania + to po prostu elementy przeciwne (od gimnazjum oznaczasz je poprzez pisanie minusa). $Q(\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{5}:a,b\in Q\}$ Jeśli dodajesz trzy liczby tej postaci, to nawiasy są obojętne $((a+b\sqrt{5})+(c+d\sqrt{5}))+(e+f\sqrt{5})=(a+b\sqrt{5})+((c+d\sqrt{5})+(e+f\sqrt{5}))$ co nazywamy łącznością. Elementem neutralnym jest $0+0\sqrt{5}$, bo zawsze $a+b\sqrt{5}+0+0\sqrt{5}=a+b\sqrt{5}$ No i element odwrotny (zwany tu przeciwnym) do $a+b\sqrt{5}$ to $-a-b\sqrt{5}$, bo po ich dodaniu dostajemy 0, czyli element neutralny. Dla mnożenia elementem neutralnym jest 1, bo mnożenie przez 1 nic nie zmienia. Ale nie dla każdego $a+b\sqrt{5}$ znajdziemy element $c+d\sqrt{5}$ takie, że $(a+b\sqrt{5})\cdot (c+d\sqrt{5})=1$. I to właśnie sprawia, że nie będzie to grupa. (w powyższych obliczeniach $a,b,c,d,e,f$ oznacza liczby wymierne, nie chciało mi się pisać)

chudek postów: 39	2016-01-04 14:41:28 Wielkie dzięki!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj