logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4057

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

szmajhel96
postów: 57
2016-01-05 11:49:43

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji :
f(x)=(x-1)lnx
f '(x)= 1*lnx+ (x-1)*$\frac{1}{x}$
sprowadzilem to do wspolnego mianownika co wyglada tak:
$\frac{xlnx+x-1}{x}$

Jednak nie wiem jak rozwiązać nierówność z takimi czynnykami. Chyba moge pomnożyć przez x ? Bo dziedzina powinna być = x>=0 tak ?


tumor
postów: 8070
2016-01-05 13:16:39

Dokładniej dziedziną jest $(0,\infty)$, przedział otwarty.

Funkcja $xlnx+x-1$ (czyli nasz licznik) jest ciągła jako iloczyn/suma/różnica funkcji ciągłych.
Zeruje się w $x=1$, co jest dość oczywiste.
Jeśli $x>1$, to $x-1>1$ oraz $lnx>0$, czyli licznik dodatni. Jeśli $x\in (0,1)$, to $lnx<0$ oraz $x-1<0$, czyli licznik ujemny.

Rozwiązując niektóre nierówności wystarczy się im przypatrzyć, nie trzeba jakichś tajemnych metod. :)





Wiadomość była modyfikowana 2016-01-06 13:30:21 przez tumor

szmajhel96
postów: 57
2016-01-05 16:14:43

czyli funkcja rośnie w przedziale (1;$+\infty$) ?



tumor
postów: 8070
2016-01-05 17:28:58

Tak.


szmajhel96
postów: 57
2016-01-06 13:06:43

Własnie zastanawia mnie tylko jak ładnie to napisac na kolokwium. Wlasnie nie wiem czemu w 1 przypadku lnx jest >1 a w drugim lnx<0 , czemu ?Nie wiem tez skad te przedzialy. Jakbyś mogl pokazac kolejne kroki jakie stosowales w rozwiazywaniu nierownosci : xlnx+x-1>0 , bylbym wdzieczny.


tumor
postów: 8070
2016-01-06 13:39:09

z tą jedynką to literówka była.

xlnx+x-1, zastanowiłem się tak zwyczajnie mózgiem, kiedy się to zeruje. No i mózg odpowiedział, że dla x=1.
Potem pomyślałem, że dla x<1 składniki xlnx oraz x-1 są oba ujemne, czyli ich suma też, a dla x>1 oba są dodatnie, czyli ich suma też. No i tyle.

W przykładzie całość jest dzielona przez x, ale skoro x dodatni, to nie zmienia znaku i można to zignorować.

Nie stosowałem żadnej dziwnej metody rozwiązywania.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 59 drukuj