logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4066

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-01-06 13:57:27

Witam, mam problem z tym zadaniem.
Znajdz sumy szeregów:
a) $\sum_{1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}$

b) $\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cdot n}{3^{n}}$


janusz78
postów: 820
2016-01-06 18:05:05


a)
$ S= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}$

$S = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n}}.$

$ S = 2S - S = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n}}- \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n+1)}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n}{2^{n}}+ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}= 4+2=6.$

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-06 18:07:19 przez janusz78

brightnesss
postów: 113
2016-01-06 21:20:37

Analizowałam to rozwiązanie, ale nie za bardzo rozumiem o co w nim chodzi. Czy moglabym Cie prosic o wytlumaczenie?


janusz78
postów: 820
2016-01-06 21:36:13

Zapisujesz dwa równania na tą samą sumę szeregu.
Dodajesz stronami i z tego równania obliczasz S.
W ten sposób eliminujesz szereg z potęgą drugą.
Zapisujesz otrzymany szereg w postaci sumy dwóch szeregów.


tumor
postów: 8070
2016-01-06 22:09:42

brightnesss, Janusz zrobił błąd, ale jak Janusz zrobi błąd i się go o rozwiązanie zapyta, to on nie zniża się do przeczytania swojego rozwiązania. On tak wierzy, że ma rację, że czytanie rozwiązania jest dla niego pozbawione sensu.

Druga linia januszowego rozumowania powinna mieć postać

$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}$
Zastosowany manewr polega tylko na zmianie indeksów (raz od 1, drugi raz od 0).
Ponadto w pierwszym z tych szeregów możemy dodać "zerowy" wyraz (bo będzie on także równy 0, czyli nie zmieni sumy szeregu). Natomiast w drugim z nich możemy wyłączyć przed znak sumy stałą $\frac{1}{2}$, będzie:
$S=\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^{n}}$
Drugi z tych szeregów, gdyby nie stała przed nim, byłby równy 2S.

Wobec tego $S=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^{n}}-\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}$

Szeregi są zbieżne bezwzględnie, wobec czego można dodawać ich wyrazy w dowolnej kolejności, co nam umożliwia przemieszanie jednych z drugimi. Dla każdego n wykonujemy odejmowanie
$\frac{(n+1)^2}{2^n}-\frac{n^2}{2^n}=\frac{2n+1}{2^n}$ i stąd wynik Janusza.

By policzyć sumę szeregu $\sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{2^n}$ możemy zastosować drugi raz dokładnie tę samą technikę z przedstawieniem tego szeregu na dwa sposoby, odejmowaniem etc.


tumor
postów: 8070
2016-01-06 22:27:24

b) proponuję upodobnić ten przykład do wcześniejszego.

Widzisz, że wyrazy ciągu są naprzemiennie ujemne/dodatnie. Warto w takiej sytuacji pomyśleć, co się stanie, gdy je połączymy w pary. (Mała uwaga: tu także można pokazać, że szereg jest zbieżny bezwzględnie, wobec tego takie łączenie w pary jest uprawnione i nie prowadzi do dzikich wyników. Janusz wykonał obliczenia trochę jak student polibudy, to znaczy bez uzasadnienia, dlaczego one będą działać.)

Dodajmy zatem dwa kolejne wyrazy, n-ty i n+1-szy, przy czym n jest nieparzyste.

$\frac{(-1)^nn}{3^n}+\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{3^{n+1}}=
\frac{-n}{3^n}+\frac{n+1}{3^{n+1}}=\frac{-3n+n+1}{3^{n+1}}$

Wobec tego sumując parami dostajemy
$(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+...=\frac{-3+1+1}{3^{1+1}}+\frac{-3*3+3+1}{3^{3+1}}+\frac{-3*5+5+1}{3^{5+1}}+...=\sum_{i=1}^\infty \frac{-2(2i-1)+1}{3^{2i}}=
\sum_{i=1}^\infty \frac{-4i+3}{9^i}$

Przy tym nie ma znaczenia, czy indeksem jest n czy i, zmieniłem literkę tak se.
Sumę tego szeregu na końcu da się liczyć w ten sam sposób co a)




brightnesss
postów: 113
2016-01-07 19:23:16

Bardzo dziękuję, dzięki takiemu wytłumaczeniu wszystko zrozumiałam :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 62 drukuj