Analiza matematyczna, zadanie nr 4066
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
brightnesss post贸w: 113 |  2016-01-06 13:57:27Witam, mam problem z tym zadaniem. Znajdz sumy szereg贸w: a) $\sum_{1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}$ b) $\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cdot n}{3^{n}}$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-01-06 18:05:05 a) $ S= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}$ $S = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n}}.$ $ S = 2S - S = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n}}- \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n+1)}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n}{2^{n}}+ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}= 4+2=6.$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-01-06 18:07:19 przez janusz78 |
brightnesss post贸w: 113 | 2016-01-06 21:20:37 Analizowa艂am to rozwi膮zanie, ale nie za bardzo rozumiem o co w nim chodzi. Czy moglabym Cie prosic o wytlumaczenie? |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-01-06 21:36:13 Zapisujesz dwa r贸wnania na t膮 sam膮 sum臋 szeregu. Dodajesz stronami i z tego r贸wnania obliczasz S. W ten spos贸b eliminujesz szereg z pot臋g膮 drug膮. Zapisujesz otrzymany szereg w postaci sumy dw贸ch szereg贸w. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-06 22:09:42 brightnesss, Janusz zrobi艂 b艂膮d, ale jak Janusz zrobi b艂膮d i si臋 go o rozwi膮zanie zapyta, to on nie zni偶a si臋 do przeczytania swojego rozwi膮zania. On tak wierzy, 偶e ma racj臋, 偶e czytanie rozwi膮zania jest dla niego pozbawione sensu. Druga linia januszowego rozumowania powinna mie膰 posta膰 $S=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}$ Zastosowany manewr polega tylko na zmianie indeks贸w (raz od 1, drugi raz od 0). Ponadto w pierwszym z tych szereg贸w mo偶emy doda膰 \"zerowy\" wyraz (bo b臋dzie on tak偶e r贸wny 0, czyli nie zmieni sumy szeregu). Natomiast w drugim z nich mo偶emy wy艂膮czy膰 przed znak sumy sta艂膮 $\frac{1}{2}$, b臋dzie: $S=\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^{n}}$ Drugi z tych szereg贸w, gdyby nie sta艂a przed nim, by艂by r贸wny 2S. Wobec tego $S=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^{n}}-\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}$ Szeregi s膮 zbie偶ne bezwzgl臋dnie, wobec czego mo偶na dodawa膰 ich wyrazy w dowolnej kolejno艣ci, co nam umo偶liwia przemieszanie jednych z drugimi. Dla ka偶dego n wykonujemy odejmowanie $\frac{(n+1)^2}{2^n}-\frac{n^2}{2^n}=\frac{2n+1}{2^n}$ i st膮d wynik Janusza. By policzy膰 sum臋 szeregu $\sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{2^n}$ mo偶emy zastosowa膰 drugi raz dok艂adnie t臋 sam膮 technik臋 z przedstawieniem tego szeregu na dwa sposoby, odejmowaniem etc. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-06 22:27:24 b) proponuj臋 upodobni膰 ten przyk艂ad do wcze艣niejszego. Widzisz, 偶e wyrazy ci膮gu s膮 naprzemiennie ujemne/dodatnie. Warto w takiej sytuacji pomy艣le膰, co si臋 stanie, gdy je po艂膮czymy w pary. (Ma艂a uwaga: tu tak偶e mo偶na pokaza膰, 偶e szereg jest zbie偶ny bezwzgl臋dnie, wobec tego takie 艂膮czenie w pary jest uprawnione i nie prowadzi do dzikich wynik贸w. Janusz wykona艂 obliczenia troch臋 jak student polibudy, to znaczy bez uzasadnienia, dlaczego one b臋d膮 dzia艂a膰.) Dodajmy zatem dwa kolejne wyrazy, n-ty i n+1-szy, przy czym n jest nieparzyste. $\frac{(-1)^nn}{3^n}+\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{3^{n+1}}= \frac{-n}{3^n}+\frac{n+1}{3^{n+1}}=\frac{-3n+n+1}{3^{n+1}}$ Wobec tego sumuj膮c parami dostajemy $(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+...=\frac{-3+1+1}{3^{1+1}}+\frac{-3*3+3+1}{3^{3+1}}+\frac{-3*5+5+1}{3^{5+1}}+...=\sum_{i=1}^\infty \frac{-2(2i-1)+1}{3^{2i}}= \sum_{i=1}^\infty \frac{-4i+3}{9^i}$ Przy tym nie ma znaczenia, czy indeksem jest n czy i, zmieni艂em literk臋 tak se. Sum臋 tego szeregu na ko艅cu da si臋 liczy膰 w ten sam spos贸b co a) |
brightnesss post贸w: 113 | 2016-01-07 19:23:16 Bardzo dzi臋kuj臋, dzi臋ki takiemu wyt艂umaczeniu wszystko zrozumia艂am :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj