logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4069

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

chudek
postów: 39
2016-01-07 01:54:01

Pokazać,że grupy nie są izomorficzne( wskazówka,dowód nie wprost).

$ (R\backslash{0},\cdot)$ z $(R_{+},\cdot).$


tumor
postów: 8070
2016-01-07 07:52:06

Wystarczy zauważyć, że jeśli f jest homomorfizmem z pierwszej grupy w drugą, to nie jest różnowartościowy, bo f(-1)=f(1)=1.




chudek
postów: 39
2016-01-07 13:14:06

ja powiem,jak zrobiony został poprzedni przykład,rozumiem go w miare i chciałbym,żeby ten o który spytałem również mi jasno wyłumaczyć
$f:(Q,+)\rightarrow(Q_{+},\cdot)$
dla każdego x należącego do Q, f(x)=y,gdzie y należy do $Q_{+}$

$y=f(x)=f[(x/2)+f(x/2)]$
$f[(x/2)+(x/2)]=f(x/2)$$\cdot$$f(x/2)$
$y=[f(x/2)]^{2}$
$f(x/2)=\sqrt{y} \vee f(x/2)=-\sqrt{y}$,co nie należy do wymiernych dodatnich,więc zachodzi sprzeczność



tumor
postów: 8070
2016-01-07 13:42:36

No?
$f(-1)*f(-1)=f(1)*f(1)=f(1)$

Zatem f(-1) i f(1) musiałyby być elementami $R_+$ o identycznych kwadratach (skądinąd wiadomo, że równych 1, ale to w zasadzie nieistotne w tym miejscu). W $R_+$ nie ma dwóch elementów o równych kwadratach.


chudek
postów: 39
2016-01-07 14:06:36

f(1)=f[(-1)*(-1)]=f(-1)*f(-1) to jest z warunku na homomorfizm,tak?
dalej
f(1 * 1)= f(1)*f(1)
czyli:
f(1)=f(1)*f(1)=f(-1)*f(-1)
teraz,co jest elementem czego
1 i -1 to w tym przypadku elementu zbioru z 1 grupy,czyli rzeczywistych bez zera,ale wartości(igreki jak to w podstawówce) powinny należeć do zbioru rzeczywistych dodatnich
czyli,gdyby a i b nalezały do rzeczywistych dodatnich to a=a*a lub b*b,co sprawia,że odwzorowanie nie jest różnowartościowe,czyli odwzorowanie nie jest bijekcją, dobrze rozumiem?


tumor
postów: 8070
2016-01-07 19:50:49

Tak, właśnie o to chodzi.


chudek
postów: 39
2016-01-07 20:11:15

A żeby uściślić, czy można to zrobić w ten sposób?

y należy do rzeczywistych dodatnich, x należy do rzeczywistych bez zera

$y=f(x)=f(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x})$
$y=f(\sqrt{x})^2$
$\sqrt{y}=f(\sqrt{x})$ lub $-\sqrt{y}=f(\sqrt{x})$
po 1. funkcja nie jest różnowartościowa
po 2. $-\sqrt{y}$ nie należy do rzeczywistych dodatnich,więc obraz funkcji nie pokrywa się z przeciwdziedziną

Czy takie rozwiązanie również jest okej,czy nigdzie nie ma błędu w tym co napisałem?


tumor
postów: 8070
2016-01-07 20:21:18

$\sqrt{y}=f(\sqrt{x})$ i podobnie
$\sqrt{y}=f(-\sqrt{x})$, bowiem $f((-\sqrt{x})\cdot (-\sqrt{x}))=f(x)$.

Liczby $-\sqrt{y}$ oczywiście nie ma w przeciwdziedzinie, więc nie może być ona wartością dla żadnego argumentu.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 34 drukuj