logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4079

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

domis567
postów: 25
2016-01-08 19:53:23

wykaż, że $ y=\sin x+b, b>5 $ jest addytywna ale nie jest funkcją wypukłą. Wykaż, że, $ y=x^2 $jest funkcją wypukłą ale nie jest podaddytywna.
Proszę o szczegółowe omówienie, dziękuję z góry


tumor
postów: 8085
2016-06-22 14:35:49

sinx+b nie jest addytywna
nie jest prawdą, że sin(x+y)+b=sinx+b+siny+b
Dla b>5 prawa strona jest większa niż b+3, lewa strona jest mniejsza niż b+2.
Dostajemy zatem tylko warunek podaddytywności
$sin(x+y)+b\le sinx+b+siny+b$

Brak wypukłości widać od razu weźmy $x_1=0, x_2=\pi$
Wtedy
$f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$


----

$x^2$ jest funkcją wypukłą. Niech $t\in (0,1)$
mamy $(t^2-t)(x-y)^2\le 0$
czyli
$(t^2-t)x^2+(t^2-t)y^2-2(t^2-t)xy\le 0$
czyli
$ -tx^2+t^2x^2+(1-t)^2y^2-(1-t)y^2+2t(1-t)xy \le 0$
czyli
$t^2x^2+(1-t)^2y^2 +2t(1-t)xy \le tx^2+(1-t)y^2$
czyli
$(tx+(1-t)y)^2\le tx^2+(1-t)y^2$

Brak podaddytywności mamy na przykład dla
$x=1=y$
$f(x+y)>f(x)+f(y)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj