logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 4091

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

chudek
postów: 39
2016-01-12 12:30:15

Witam!
Treść zadania:
Udowodnić,że funkcja $ f(x):R \rightarrow R $ określona wzorem $ f(x)=x+2 $ jest izomorfizmem grupy $(R, \cdot )$ na grupę $(R, \times)$,gdzie $ x \times y=xy-x-y+2$ dla dowolnych $x,y \in R $.

Moją wątpliwość budzi jedna rzecz, "grupa" jak to nazwano w zadaniu $(R, \times)$,gdzie $ x \times y=xy-x-y+2$ nie spełnia warunku,mówiącego o tym,że dla każdego elementu musi istnieć element odwrotny.Dla 1,dla tego działania,w tym zbiorze, nie istnieje element odwrotny(element neutralny jest równy 2). Co zatem powinno się zrobić w takim przypadku? Jest to zadanie z kolokwium.


tumor
postów: 8070
2016-01-12 13:40:04

$ (R,\cdot)$ nie jest grupą z tych samych powodów, nie istnieje element odwrotny do 0.

Na dobrą sprawę mamy tu nie grupy, ale monoidy (działanie jest łączne + istnieje element neutralny).

Można jednak sprawdzić, czy monoidy są izomorficzne.
Przede wszystkim element neutralny powinien przechodzić na neutralny, czyli $f(1)=2$.
Nasze odwzorowanie tego zdecydowanie nie spełnia, wobec czego nie będzie izomorfizmem.

Mamy $f(1)=3$
ale też $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\times f(1)= 3\times 3=5$.

Zatem f(x)=x+2 nie jest nawet homomorfizmem monoidów.

----

Wracając: w homeomorfizmie element neutralny musi przechodzić na neutralny, wobec czego musi być $f(1)=2$.
Można zatem sprawdzić, czy izomorficzne są grupy
$(R\backslash \{0\},\cdot)$ i $(R\backslash\{1\},\times)$, przy tym kandydatem na izomorfizm jest $f(x)=x+1$

(Istnieje też pewna szansa, że błędy w zadaniu są celowe i wykładowca sprawdza myślenie studentów)

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-12 13:41:26 przez tumor

chudek
postów: 39
2016-01-12 18:46:19

A gdyby było, f(x)=x+1 i $ (R,\cdot) \rightarrow (R,\times)$?

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-12 18:50:33 przez chudek

tumor
postów: 8070
2016-01-12 20:34:03

No ok, to są wtedy monoidy. Sprawdź, czy odwzorowanie jest homomorfizmem. Jeśli do tego jest suriekcją i iniekcją, to jest izomorfizmem.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 75 drukuj