Algebra, zadanie nr 4091
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
chudek post贸w: 39 |  2016-01-12 12:30:15Witam! Tre艣膰 zadania: Udowodni膰,偶e funkcja $ f(x):R \rightarrow R $ okre艣lona wzorem $ f(x)=x+2 $ jest izomorfizmem grupy $(R, \cdot )$ na grup臋 $(R, \times)$,gdzie $ x \times y=xy-x-y+2$ dla dowolnych $x,y \in R $. Moj膮 w膮tpliwo艣膰 budzi jedna rzecz, \"grupa\" jak to nazwano w zadaniu $(R, \times)$,gdzie $ x \times y=xy-x-y+2$ nie spe艂nia warunku,m贸wi膮cego o tym,偶e dla ka偶dego elementu musi istnie膰 element odwrotny.Dla 1,dla tego dzia艂ania,w tym zbiorze, nie istnieje element odwrotny(element neutralny jest r贸wny 2). Co zatem powinno si臋 zrobi膰 w takim przypadku? Jest to zadanie z kolokwium. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-12 13:40:04 $ (R,\cdot)$ nie jest grup膮 z tych samych powod贸w, nie istnieje element odwrotny do 0. Na dobr膮 spraw臋 mamy tu nie grupy, ale monoidy (dzia艂anie jest 艂膮czne + istnieje element neutralny). Mo偶na jednak sprawdzi膰, czy monoidy s膮 izomorficzne. Przede wszystkim element neutralny powinien przechodzi膰 na neutralny, czyli $f(1)=2$. Nasze odwzorowanie tego zdecydowanie nie spe艂nia, wobec czego nie b臋dzie izomorfizmem. Mamy $f(1)=3$ ale te偶 $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\times f(1)= 3\times 3=5$. Zatem f(x)=x+2 nie jest nawet homomorfizmem monoid贸w. ---- Wracaj膮c: w homeomorfizmie element neutralny musi przechodzi膰 na neutralny, wobec czego musi by膰 $f(1)=2$. Mo偶na zatem sprawdzi膰, czy izomorficzne s膮 grupy $(R\backslash \{0\},\cdot)$ i $(R\backslash\{1\},\times)$, przy tym kandydatem na izomorfizm jest $f(x)=x+1$ (Istnieje te偶 pewna szansa, 偶e b艂臋dy w zadaniu s膮 celowe i wyk艂adowca sprawdza my艣lenie student贸w) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-01-12 13:41:26 przez tumor |
chudek post贸w: 39 | 2016-01-12 18:46:19 A gdyby by艂o, f(x)=x+1 i $ (R,\cdot) \rightarrow (R,\times)$? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-01-12 18:50:33 przez chudek |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-12 20:34:03 No ok, to s膮 wtedy monoidy. Sprawd藕, czy odwzorowanie jest homomorfizmem. Je艣li do tego jest suriekcj膮 i iniekcj膮, to jest izomorfizmem. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj