Algebra, zadanie nr 4091

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
chudek postów: 39	2016-01-12 12:30:15 Witam! Treść zadania: Udowodnić,że funkcja $ f(x):R \rightarrow R $ określona wzorem $ f(x)=x+2 $ jest izomorfizmem grupy $(R, \cdot )$ na grupę $(R, \times)$,gdzie $ x \times y=xy-x-y+2$ dla dowolnych $x,y \in R $. Moją wątpliwość budzi jedna rzecz, "grupa" jak to nazwano w zadaniu $(R, \times)$,gdzie $ x \times y=xy-x-y+2$ nie spełnia warunku,mówiącego o tym,że dla każdego elementu musi istnieć element odwrotny.Dla 1,dla tego działania,w tym zbiorze, nie istnieje element odwrotny(element neutralny jest równy 2). Co zatem powinno się zrobić w takim przypadku? Jest to zadanie z kolokwium.

tumor postów: 8070	2016-01-12 13:40:04 $ (R,\cdot)$ nie jest grupą z tych samych powodów, nie istnieje element odwrotny do 0. Na dobrą sprawę mamy tu nie grupy, ale monoidy (działanie jest łączne + istnieje element neutralny). Można jednak sprawdzić, czy monoidy są izomorficzne. Przede wszystkim element neutralny powinien przechodzić na neutralny, czyli $f(1)=2$. Nasze odwzorowanie tego zdecydowanie nie spełnia, wobec czego nie będzie izomorfizmem. Mamy $f(1)=3$ ale też $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\times f(1)= 3\times 3=5$. Zatem f(x)=x+2 nie jest nawet homomorfizmem monoidów. ---- Wracając: w homeomorfizmie element neutralny musi przechodzić na neutralny, wobec czego musi być $f(1)=2$. Można zatem sprawdzić, czy izomorficzne są grupy $(R\backslash \{0\},\cdot)$ i $(R\backslash\{1\},\times)$, przy tym kandydatem na izomorfizm jest $f(x)=x+1$ (Istnieje też pewna szansa, że błędy w zadaniu są celowe i wykładowca sprawdza myślenie studentów) Wiadomość była modyfikowana 2016-01-12 13:41:26 przez tumor

chudek postów: 39	2016-01-12 18:46:19 A gdyby było, f(x)=x+1 i $ (R,\cdot) \rightarrow (R,\times)$? Wiadomość była modyfikowana 2016-01-12 18:50:33 przez chudek

tumor postów: 8070	2016-01-12 20:34:03 No ok, to są wtedy monoidy. Sprawdź, czy odwzorowanie jest homomorfizmem. Jeśli do tego jest suriekcją i iniekcją, to jest izomorfizmem.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj